康德和数学哲学中的主要人物和流派

康德和数学哲学中

的主要人物和流派

包向飞

选自《康德的数学哲学》

康德和数学哲学中的主要人物和流派

在这一章里，将主要论述康德与数学哲学中的主要人物和流派的关系，并在不具体涉及康德时空观的情况下，初步建立这样的一种观点：数学命题作为先天综合命题。当然，这也完全是康德关于数学命题的观点。康德在《纯粹理性批判》中清楚地说：“数学的判断全部都是综合的。” 但是我们必须注意到：康德说数学命题是先天综合命题，这并不意味着任何数学命题在任何可能的意义上都是先天综合命题，而是说全部数学并不能还原成“就其自身而言就分析地真着的命题”。用我们现在的话说，就是：整个数学并不是一个庞大的重言式。对此，康德有很好的说法：“……一个综合命题固然可以根据矛盾律来理解，但只能是这样来理解，即有另外一个综合命题作为前提，它能从另外一个综合命题中推出来，而绝不是就其自身来理解的。” 也就是说，一个综合命题也可以看成是分析的，但却是在这种意义上，即它可以从其他的综合命题（按照既定的推演规则）推导出来，而不是“就其自身”分析地真着。有人可能会提出这样的批评：康德说“数学的判断全部都是综合的”，而“三角形有三个角”是一个数学判断，并且这一判断是一个分析判断，并且它就其自身分析地真着，因此，康德的“数学的判断全部都是综合的”论断是错误的。这样的批评只是巧妙地歪曲了康德的意思。康德当然会承认“三角形有三个角”是一个分析命题，因为正是康德第一次清晰地区分了分析命题和综合命题，对此，我们在本书中还要详细论及。不过，康德大概不会承认它是一个真正的数学判断。如果人们把“三角形有三个角”这样的判断归为数学判断，并且康德本人也会同意的话，那么康德肯定会爽快地修正说“数学中存在着先天综合命题”。其实，这也正是康德的用意所在，即“在人类的知识中存在先天综合命题”，对康德来说，这已经够了。因为在任何知识的门类中我们都可以造出大量的、像“三角形有三个角”这样的分析命题，用这样的分析命题的存在来驳斥康德，显然是太取巧了，也太小瞧了康德的智商，并且这也丝毫没有触动康德数学哲学的内核。其实，要想驳倒康德，人们必须像逻辑实证主义那样去论证：“所有的数学命题其实都是分析命题。”

第一节　康德和逻辑实证主义

一、先天综合命题在康德哲学中的含义在康德之前，就有分析命题和综合命题的区分了，但是，康德是第一个系统地、清楚地做出了这样的区分。对于什么是分析的，什么是综合的，康德是这样说的：“……要么是谓词B属于主词A，是（隐蔽的）包含在A这个概念中的东西，要么是B完全外在于概念A，虽然它与概念A有关联。在前一种情况下我把这判断叫做分析的，在第二种情况下则称为综合的。” 

我们可以看几个简单的例子，来获得一些具体的了解：

康德式的分析命题：

所有的物体都是有延展的。（隐蔽的包含）

白马是白色的。（明显的包含）

康德式的综合命题：

所有的物体都是有重量的。（“有重量的”外在于“物体”这个概念）

了解康德著作的人都知道，在康德的知识论系统里，先天综合命题是至关重要的，可以这样说，如果没有了先天综合命题，康德的知识论也就立不住了，那么，在康德那里，什么是先天综合命题呢？

对于什么是先天的，康德是这样说的：“所以我们在下面将把先天的知识理解为并非不依赖于这个那个经验，而是完全不依赖于任何经验所发生的知识。” 此外，康德还给出了先天知识的简明标志，他说：“……必然性和严格普遍性就是一种先天知识的可靠标志，而两者也是不可分割的相互从属的。” 

结合上面康德对综合命题的定义，我们可以看出，在康德那里，先天综合知识（命题）就是完全不依赖于任何经验的知识（命题），它是必然的和严格普遍的，但它又不是“自身”分析的。很容易看出，如果存在这样的知识，它的正确与否完全不受经验的检验，因为它本身不依赖于任何经验。

二、逻辑实证主义对分析命题和综合命题的重新界定及其疑难

逻辑实证主义者们接受了康德的“分析命题和综合命题”的提法，但是他们认为康德对这两种命题的界定是不清楚的，他们重新界定了分析命题和综合命题。在这里，我们首先看一下逻辑实证主义的代表之一——艾耶尔（Alfred Jules Ayer，1910—1989）对分析命题和综合命题的界定：“当一个命题的效准仅依据于它所包括的那些符号的定义，我们称之为分析命题，当一个命题的效准决定于经验事实，我们就称之为综合命题。” 

逻辑实证主义者们大多拒斥康德的先天综合判断（命题），他们认为，如果一个命题是先天的、必然的，那么它就是分析命题，是重言式命题，所以先天综合命题是没有的。

我们可以看一下艾耶尔自己的表述：“事实上，任何必然命题无例外地都是分析命题，或者，换句话说，都是重言式命题。” “……说一个命题是先天地真，就是说它是一个重言式命题。重言式命题虽然可以指导我们去进行对知识的经验探索，但重言式命题本身并不包括关于任何事实的报道。” 

我们可以稍微比较一下康德和艾耶尔在对分析命题和综合命题下定义时他们心目中的逻辑。通常的对康德的批评是：康德的定义是建立在主谓逻辑的基础上的，而艾耶尔的定义却可以把现代逻辑（比方说关系逻辑）也包含在内，因此康德对分析命题的理解过分狭窄了。这些批评都是有其道理的，但是，我们可以这样为康德辩护，康德对逻辑有着和现代很不同的理解，康德从一开始就对纯形式化的逻辑是不满意的，他说：“一切判断的逻辑形式在于其中所含概念的统觉的客观统一”，等等。 所以，在康德所理解的逻辑里，总包含有“能动的东西”，而带系词的主谓逻辑很适合展示这种“能动性”。 康德忽略“关系逻辑”很可能与他这一思想有关，但我们并不能因此推断说：康德是反对关系逻辑的。

现代的分析哲学一般是这样来界定分析命题和综合命题的：分析命题的真取决于组成它的表达（或者说符号）的含义，它是一个“语言内”的事情；而综合命题的真却取决于“语言外”的事实。 但是这样的界定对康德来说也许是不恰当的，因为康德在对分析命题进行定义时并没有明显地考虑“语义”这样一个因素，对于康德来说，分析所涉及的不是语义规则，而是主词与谓词的“概念”关系，而“概念”并不总是等于有明确语义的“被定义的符号”，概念总包含着某种实在性的东西，所以，我们完全有理由认为，在康德那里，“分析性真实的”并不等于“根据定义是真实的”。当然，你可以像逻辑实证主义一样，认为这是康德的不清楚的地方。但是，这里还包含一些值得深思的地方，因为什么是“语言内”呢？语言的界限在哪里？“语义”真的能被封闭在一个语言内部吗？如果认为“分析命题的‘真’可以在语言内决定，而综合命题的‘真’需要语言外的事实”，那么逻辑实证主义就不能逃脱蒯因（W.V.O.Quine，1908—2000）在《经验论的两个教条》一文中所作的批评，诚如蒯因所言，对于逻辑实证主义来说：“……分析陈述和综合陈述之间的分界线却一直根本没有画出来。” 这些都是值得深思的地方。不过，鉴于我们的目的，在这里就不再展开讨论了。

现在，我们来看两个逻辑实证主义眼中典型的分析命题，以便对它们有一些确实的了解：

“或者有单身汉是黑皮肤的，或者没有单身汉是黑皮肤的。”

“没有一个未婚的男子是已婚的。”

从这两个例子我们可以看出，在逻辑实证主义眼中，分析命题就是：单从句子本身来看，它就得是分析地真着。

三、几何学的命题是先天综合命题还是分析命题？

现在我们把目光转向数学命题，康德认为数学命题是先天综合命题，而逻辑实证主义者们认为数学命题是彻底的分析命题。逻辑实证主义的又一代表人物——克拉夫特（Victor Kraft，1900—1975）在《维也纳学派》中这样写道：“数学命题并不是像康德和穆勒所相信的那样是综合的，它们是分析的。仅仅依据概念的定义就可以知道数学命题的真假。数学命题就是运用概念的定义而构成的，它们仅仅是重言式——维特根斯坦的这个术语用于表示这样一些命题，这些命题从它们的逻辑形式就已经可以看出它们是真的。通过用演绎系统的形式构造数学……清楚地揭示了数学的分析性质。数学的分析性质说明了数学的先天有效性。数学仅仅处理概念的连接，数学并不处理经验的实在。因此，根本不需要为先天综合判断的有效性寻找根据，根本不需要用‘纯粹理性’、‘纯粹直觉’、‘直观’或‘自明性’来提供这种根据，甚至也不要求经验提供这种根据。分析关系是逻辑关系而不是经验关系，而逻辑关系仅仅是符号系统内部的关系。逻辑的自律性源于下列事实，即逻辑并不包含关于世界的基本定律而只包含关于思考世界之思维的基本定律。这样，逻辑和数学相对于经验的自律性就很容易地得到了辩护。” 

从以上的引言我们可以清楚地看出，在“数学命题”这个问题上，逻辑实证主义者们和康德是针锋相对的。

他们谁更有道理？我们先从几何学入手。我们先来看一个简单的几何学的例子：“三角形的内角和是180度”。对于康德来说，这个命题自身不是分析命题，因为我们从三角形这个概念中分析不出它们的内角和是180度。康德说：“我们若给一位哲学家一个三角形的概念，并让他按照自己的方式去发现三角形的内角之和可能会与直角有什么关系。他现在只有在三条直线内所围成的一个图形的概念，以及在这个图形上的三个角的概念。现在，不论他对这个概念沉思多久，他也不会得出任何新的东西。他可以分解直线的概念，或是一个角的概念，或是‘三’这个数的概念，并使之变得清晰，但不能想到在这个概念中根本没有的其他属性。” 

但是，对于逻辑实证主义来说，“三角形的内角和是180度”是一个分析命题吗？逻辑实证主义当然会给出肯定的回答，因为在他们眼中，所有的几何学命题都是分析命题。但这个“三角形内角和是180度”的命题并不是显然的分析命题，因为它毕竟不像“没有一个未婚的男子是已婚的”这个命题一样，仅靠自身符号的定义就为真。我们把三角形的内角和定义成180度，然后我们说“三角形的内角和”是180度是一个分析命题，但这将是苍白无用的，因为它缺少任何语义的（在任何语言中的）根据，如果如此，那么我们同样可以把三角形的内角和定义成150度和210度什么的，然后说“三角形的内角和是150度或者210度”是分析命题。孤立地，没有任何根据地对每个命题所包含的符号下定义，并不能构造出人类已经拥有的，并且被我们称之为“数学”的东西，所以，对于逻辑实证主义来说，这条路显然是行不通的。但是，逻辑实证主义可以这样来改写这个命题：如果一个形状是三角形，并且它处于欧氏空间，那么它的内角和是180度；而欧氏空间我们可以用“清楚”的定义给出。

所以，逻辑实证主义认为：在这里，人们可以从“如果……”推导出“那么……”，并且在这里人们也没有援引任何实际存在的经验性的东西，因此“三角形的内角和是180度”是一个分析命题。 

但是，如果允许人们这样做，康德也会说，在这种意义上，“三角形的内角和是180度”是一个分析命题（见以上对康德的引用）。不过，康德依然会说，这个几何学的分析命题是建立在其他综合命题的基础上的，如果没有无穷后退的话，总是存在一个或几个命题，它（们）不是依靠自身符号的定义而真，因此它们不是彻底的分析命题。

我们可以从希尔伯特的公理化几何学出发，来阐明康德和逻辑实证主义的区别。在希尔伯特的公理化的几何学中，公理中的符号（初始概念）往往是不定义的，因为理由如前：如果公理中不允许不定义的概念存在，那么将导致无穷后退。在公理化的几何中，人们只是理想化地设定这些符号（初始元）处于如此这般的关系之中。为了清楚起见，我们可以看一下希尔伯特给欧几里得几何制订的公理集中的平行公理：“设a是一条直线，A不是a上的一点。那么在a和A所在的平面上，最多只有一条经过A并与a不相交的直线。” 在这条公理中，按照希尔伯特的观点，点线面是不定义的初始概念，所以严格地来讲，它不是逻辑实证主义上的分析命题，因为我们无法作符号的定义分析，这些符号本身是没有定义的。它也不具有逻辑实证主义认为的分析命题的必然性和普遍有效性，因为我们也可以理想化地设定这些符号处于其他的关系状态中，而这种符号间关系的重新设定并不总是必然地意味着矛盾。比方说，我们可以把平行公理改成“设a是一条直线，A不是a上的一点。那么在a和A所在的平面上，有无数条经过A并与a不相交的直线。”单单看这条公理本身，很显然，我们发现不了任何必然的矛盾；如果它和其他公理协同起来作用，现代几何向我们表明，它们也不会必然地导致矛盾。当然，从必然性和普遍有效性的角度上讲，我们也可以用以上的论据来反对康德的“几何命题是先天综合命题”的观点，因为康德认为，先天综合命题是必然的和普遍有效的。关于这一点我们以后还要详细讨论。

从以上的例子我们可以清楚地看出，公理化的几何学并不支持逻辑实证主义的观点，因为几何学的公理并不总是“自身分析地”真着。如果逻辑实证主义辩论说，在一个系统内部，定理可以从公理逻辑地导出，所以这些定理是分析命题，那么，这样的论点对康德的观点并不能构成真正意义上的反驳，因为康德完全会同意，在这种意义上，这些定理可以被称为是分析命题；此外，逻辑实证主义还面临着其他的问题，即：从现代数学的角度来看，这种“如果，那么”的分析性不可能在任何时候都能保证自己的真正的分析性，因为它总要受到“一致性”的制约。如果系统是不一致的，分析性当然无从说起。关于“一致性”问题，我们以后还有很多涉及，这里就不详细展开了。

看来，如果逻辑实证主义要坚持数学命题是分析命题的观点，并且还要保持和康德的真正的差别的话，那么，他们必须断言数学的（所有）公理自身就是分析的，是重言式的命题，并且公理最好只有一个，因为如果公理有好几个，鉴于每条公理的独立性，那么我们很难说它们之间的关系是分析的；也许，有人会在这里指责我有意误解，不过，我在这里想指出的是：在人们建造一个公理系统时，选择哪些命题作公理，或者不选择哪些命题作公理并不是一个“纯粹”分析的事情，即使系统中的每一个公理都是重言式命题。另外，如果一个公理系统是不一致的，那么从分析命题是必然正确的命题的角度来看，依赖于该公理系统的定理就很难说成是分析的。基于我们以上对几何学命题的扼要的分析，去断言所有数学命题都是分析命题将是很少有希望的。路还是有的，因为我们以上的讨论并没有涉及算术，如果说几何能还原成算术，而算术从一开始就是分析的，算术的所有命题都是重言式的命题，那么，逻辑实证主义就可以坚定地声称：“数学命题是分析命题。”

四、分析命题的种类

在转向下一节以前，让我们再更多地关注一下分析命题。在命题逻辑中（P∨?P）是重言式，不论P取什么值，（P∨?P）的值都为真，当然，具有这样形式的命题都是分析命题。我们可以使用真值表清楚地看到这样一点。现在，结合普通语言，我们来看下面几个命题：

（1）“或者有单身汉是黑皮肤的，或者没有单身汉是黑皮肤的。”

（2）“或者有单身汉的体重是两米，或者没有单身汉的体重是两米。”

（3）“在一个平面上，直线a要么经过点A，要么不经过点A。”

从形式上讲，这三个命题都是分析命题，按照逻辑实证主义的观点，它们的“真”都是不依赖于经验的，但是，我们显然觉得命题（1）和命题（3）是不一样的，命题（2）很别扭，如果说命题（2）是分析命题，它和经验无关地“真”着，那么，我们凭什么说它让人不舒服呢？如果说命题（2）从根本上讲就是一个错误的命题，我们判断这个命题对错的标准又从何而来呢？这个标准很难来源于形式本身。这“不舒服”的标准和“对错”的标准都是从经验来的吗？如果我们足够地老实，仿佛我们是要承认这些标准是来源于经验的。

我认为，认识到这三个命题之间的差异是有意义的。命题（1）和命题（2）里面都包含有经验性的概念，比方说“单身汉”、“黑皮肤”、“体重”，等等；而命题（3）里并不包含这样的经验性概念，“点、线、面”要么像康德理解的那样是“直观”，或者说是可以找到“纯粹直观”的概念；要么像现代数学理解的那样，是不定义的概念。

鉴于此，我认为以下的建议并不是完全没有道理的。我们可以把分析命题划分为先天分析命题和经验分析命题。按照康德的理论，这种区分也是合适的。先天分析命题的意思是说，在这些分析命题里不存在经验性的对象和概念，用康德式的话说，它们是纯粹的（“但先天知识中那些完全没有掺杂任何经验性的东西的知识则是纯粹的” ）。经验分析命题的意思是说，命题本身的真假虽然可以不受经验检验（比方说命题（1）），但命题里却包含着经验性的对象和概念。对于命题（2），它从形式上讲虽然是分析命题，但是，运用一些非形式的直观或者经验，我们就可以判断出它包含有“混淆概念”（或者说“范畴混淆”）的错误。也许有人想用彻底形式化的方法解决像命题（2）这样的困难，我认为，这样做能够成功的前提是：整个语言系统是封闭的，并且我们能够对所有的概念词汇进行分类，编号，确定哪些连接是合法的，等等（不过，做这个工作的时候肯定要借助经验）。如果说这样的工作能够完成，我们就可以形式地判定哪些重言式的命题包含着概念性的错误。如果说，语言系统是不封闭的，唯一的成功的可能是概念的产生是有规律的（或者用数学的话来说是递归的），也就是说，我们可以形式地判定所有新概念的所有可能合法的连接，但是，对自然语言来说，这是不可能的。

插录

艾耶尔小传

艾耶尔（Alfred Jules Ayer），于1910年10月29日在伦敦出生，英国哲学家。他的主要贡献是逻辑实证主义在英语国家的传播。艾耶尔的父亲出生于瑞士，他的母亲出生于荷兰的一个犹太人家庭。1929年，19岁的艾耶尔在牛津基督教堂学院（Christ Church,Oxford）学习。1932年，22岁的艾耶尔和莉斯（Renee Lees）结婚，并于同年和莉斯一起在自由学期期间去了维也纳，在那里艾耶尔和维也纳小组建立起了联系。和维也纳小组的联系对艾耶尔的一生产生了重要的影响。 

1933年，艾耶尔回到牛津就开始宣讲维特根斯坦和卡尔纳普的学说，并开始撰写他的第一部主要著作《语言、真理和逻辑》，该书于1936年出版。在第二次世界大战期间，艾耶尔曾在英国军队服役，由于他的德语很好，艾耶尔被派到英国军队的特别行动执行小组（Special Operations Executive）审讯战俘。在此期间，艾耶尔也没有忘记学术，1940年他出版了他的第二部重要著作《经验知识的基础》。战后从1946年到1959年，艾耶尔成为伦敦大学一个下属学院的精神哲学和逻辑学的教授。1952年，42岁的艾耶尔成为英国科学院的成员。1956年，艾耶尔发表了其另外一部重要的著作《知识的问题》，之后他成为牛津大学新学院（New College der Universit?t Oxford）的教授。1960年，50岁的艾耶尔和夏普曼（Alberta Chapman）结婚。1970年，艾耶尔由于自己的贡献被封成贵族。在英国，艾耶尔一般被看成是罗素的后继者。但艾耶尔的名声更多是通过传播别人的思想获得的。艾耶尔自己的原创思想并不多。艾耶尔在一生中有很多时间在美国讲学，他也是很多大学的荣誉博士。

业余时间艾耶尔喜欢打板球，花很多时间为英国工党效力。他宣扬人道主义，为同性恋的合法权益呼吁，称自己是无神论者。1978年，68岁的艾耶尔退休，但是他与大学仍保持着联系。艾耶尔和自己的第二位太太夏普曼生了一个孩子，但在1981年他和夏普曼离婚了，和劳森（Vanessa Lawson）结了婚。劳森在1985年死去。艾耶尔在自己死前又和夏普曼复了婚。1989年6月27日艾耶尔去世。