- 类型一 - 带电粒子从三角形磁场的某一边的中点垂直射入,运动到与另一边相切,然后再离开磁场。设带电粒子进入磁场的边的边长为L,此边与和运动轨迹相切的边的夹角为θ,则带电粒子运动的半径满足方程。 - 现对此关系试作简单证明。如图1所示,令边长为L,是的中点,,。由几何关系可知,由于,故有。 - 下面来看看这一结论的应用: - 【例1】(2012高考题改编)图中左边有一对平行金属板,两板相距为d,电压为U;两板之间有匀强磁场,磁场应强度大小为B0,方向平行于板面并垂直于纸面朝里。图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG(EF边与金属板垂直),在此区域内及其边界上也有匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面朝里。假设有一电荷量为q的正离子沿平行于金属板面,垂直于磁场的方向射入金属板之间,沿同一方向射出金属板之间的区域,并经EF边中点H射入磁场区域。已知这些离子到达磁场边界EG后,从边界EF穿出磁场,不计重力。求离子的质量。 - - 解析:在粒子进入正交的电磁场做匀速直线运动,设粒子的速度为v,电场的场强为E0,根据平衡条件得 - ① - ② - 由①②化简得 - ③ - 如图3由几何关系知 - ④ - 将④化简得 - ⑤ - 在磁场中粒子所需向心力由洛伦兹力提供,根据牛顿第二定律得 - ⑥ - 联立③⑥化简得 - 。 - 【例2】如图4所示,在一底边长为2L,θ=45°的等腰三角形区域内(O为底边中点)有垂直纸面向外的匀强磁场。现有一质量为m、电量为q的带正电粒子从静止开始经过电势差为U的电场加速后,从O点垂直于AB进入磁场,不计重力与空气阻力的影响。当磁感应强度B为多少时,粒子能以最大的圆周半径偏转后打到OA板? - 解析:粒子经电场加速射入磁场时的速度为v - qU=mv2 ① - 要使圆周半径最大,则粒子的圆周轨迹应与AC边相切,设圆周半径为R。由图5中几何关系: - R+=L ② - 在磁场中粒子由洛伦兹力提供向心力,则有 - qvB=m③ - 由①②③得联立得 - B=。 - 类型二 - 带电粒子从三角形磁场中某一边的端点射入,然后从这一边的另一个端点离开磁场,设这条边的边长为L,入射方向与这一边的夹角为,则带电粒子运动的半径满足方程=Rsinθ。 - 现对此关系试作简单证明。如图6所示,令边长为L,是的中点,,。由几何关系可知,=Rsinθ。 - 下面来看看这一结论的应用: - 【例3】(2013高考题改编)如所示的平面直角坐标系xOy,在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场,方向沿y轴正方向;在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场,方向垂直于xOy平面向里,正三角形边长为L,且ab边与y轴平行。一质量为m、电荷量为q的粒子,从y轴上的P(0,h)点,以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场,通过电场后从x轴上的a(2h,0)点进入第Ⅳ象限,又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限,且速度与y轴负方向成45°角,不计粒子所受的重力。求:abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值。 - 解析:带电粒子在电场中从P到a的过程中做类平抛运动。 - 水平方向上:2h=v0t① - 竖直方向上:h=at2 ② - 由牛顿第二定律得a=③ - 粒子到达a点时沿y轴负方向的分速度为 - vy=at④ - 由①③④式得vy=v0 ⑤ - 而vx=v0 ⑥ - 粒子到达a点的速度 - va==v0 ⑦ - 粒子进入磁场后做匀速圆周运动,有qvB=m⑧ - 由此得R=⑨ - 从上式看出,R与B成反比,当R最大时,B最小。 - 由图8可知,当粒子从b点射出磁场时,R最大。 - 由几何关系得⑩ - 将①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得B的最小值为Bmin=。 |
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