卷积的定义和物理意义

卷积（Convolution）是分析数学中一个重要的运算，很多具体实际应用中会用到这个概念，卷积的数学定义就是一个式子，背后有什么物理背景意义呢？这里做一个分析。

 

函数卷积的定义：

设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：

 

可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。

容易验证，(f *g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。

 

数列卷积定义：

如果卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果定义：

其中星号*表示卷积。当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n对应不同的卷积结果。

 

卷积的物理意义（定义的来源思路）

如果一个信号是一组历史信号的组合，比如a(0),a(1),a(2)......a(n)......，其中a(i)是i时刻信号的量值，我们要计算在某一时刻n的信号的组合量值f(n), f(n)是a(0),a(1),a(2)......a(n)的组合。

 

如果是类似f(n)=a(0)+a(1)+a(2)+......+a(n)的简单线性组合就好办了，但是信号会随着时间的变化，不断的在衰减的，也就是说我们只知道0时刻信号量值是a(0),但不知道a(0)变化到n时刻的时候的实际值，所以不能简单用到上面的线性组合式子。

 

现在假设我们知道信号的衰减规律符合统一规律函数b(n)，也就是说所有信号0时刻的衰减剩余率都是是b(0)，1时刻的衰减剩余率是b(1)......,如果我们求n时刻的信号组合量f(n)，因为n时刻a(n)信号刚出来，它的衰减剩余率应该为b(0)(理解一下），而 n-1时刻的信号衰减了一个时间周期了，它的衰减剩余率是b(1)......，写成式子就是：

f(n)=a(0)b(n)+a(1)b(n-1)+a(2)b(n-2)+......+a(n)b(0)

     =sigma[a(i).b(n-i)]，i 取值 from0 ton.

上面的式子，就是a(i).b(n-i)乘积形式的由来，作为数学推广，不是一般性，可以把取值范围推广到负无穷到正无穷。

 

也就是说卷积的物理意义是一组值乘以他们相应的“权重”系数的和，以上是一个变量的数列的卷积物理意义解释，不难推广到一元函数的卷积意义，另外2元到多元函数都有相应的卷积定义，我们也不难想象多元函数的卷积意义。

 

图像处理中的卷积举例

在图像识别/处理算法里，一幅图像可以看成一个二维函数，自变量是图片象素的坐标（x,y)，函数值是象素的颜色（灰度）取值（0～255），有的图像处理方法是把象素的颜色（灰度）值变换为周围图像颜色（灰度）值的调和（周围象素颜色（灰度）值乘以一个权重值求和，效果会使得图像效果变得朦胧），这个过程也符合卷积的物理意义（一组值乘以他们相应的“权重”系数的和）,所以这个处理也被称为卷积。