已知x、y为正整数,且满足xy-( x+y )=2p+q,其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数,求所有这样的数对(x,y ) (x≥y ) 考点:约数与倍数. 分析:此题需分类讨论,①当x是y的倍数时,设x=ky(k是正整数).解方程k(y-2)=3;②当x不是y的倍数时,令x=ap,y=bp,a,b互质,则q=abp.解方程abp-1=(a-1)(b-1)即可.解答:解:①当x是y的倍数时,设x=ky(k是正整数). 则由原方程,得 ky·y-(ky+y)=2y+ky, ∵y≠0, ∴ky-(k+1)=2+k, ∴k(y-2)=3, 当k=1时,x=5,y=5; 当k=3时,x=9,y=3; 当p=1时,a+b=2,可求得a=1,b=1,此时不满足条件; 点评:本题主要考查的是最大公约数与最小公倍数.由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积.即(a,b)×[a,b]=a×b.所以,求两个数的最小公倍数,就可以先求出它们的最大公约数,然后用上述公式求出它们的最小公倍数.
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