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无穷悖论

 魚悦的图书馆 2016-06-05
带你走进一个不一样的数学世界

无穷悖论

近代数学在提出无穷学说之后,果然像希腊人担心的那样,在数学界引起了混乱,令数学家烦恼不已。这种混乱一直延续着,直到1821年柯西点明了其中的关键。

那么首先回顾一下,无穷引起了什么样的怪事。

比方说考虑以下这个无穷级数:


假设求这个无穷级数和的人是想用归纳相邻项的方法进行计算。


计算这个无穷级数的和是困难的,但明显看出和是比1/2大的数。可是如果一个人稍微偷点懒,像下式那样计算,答案则为0。方法是漂亮的,假如这个人把加法和减法各自分开计算:


上式加上

再减去同样的项,答案应该是不变的。所以答案等于


这个狡猾的人得出的答案是0,到底哪个答案是正确的呢?想来想去似乎二者都正确。

下面举出捷克的哲学家波尔察诺(1781-1848)所著《无穷悖论》一书里写的例子。

那个例子是1和-1交替出现的级数(波尔察诺级数),即


为了计算这个级数,有三个人采用了三种不同的方法进行计算,结果得出三种不同的答案。

第一个人从开始就进行相邻两数的归纳计算,答案是0。

第二个人从第二个数开始再进行相邻两数的归纳计算,答案是1。


可是第三个人用代数方法,把未知数作为x来计算,答案是1/2。


结果x=1-x,解这个方程,则


最先得出这个1/2答案的人比波尔察诺要早100年,是名叫格兰第(1671-1742)的意大利人。

他用下述牵强附会的理由解释答案为什么是1/2。父亲给两个儿子留下一块宝石,可是一块宝石不能分开,于是决定兄弟俩一年换一次,轮流保存这块宝石,结果就是两人都有1/2块宝石一样。

没有答案的加法

这个叫无穷的怪物,虽然不断地破坏以往的一些知识,但是一段时间内,谁都愿意驯养这个怪物,这对数学的发展是否有好处呢?

柯西第一个创立了无穷级数的正确理论。由于这一点柯西建立了不朽的功绩,尽管他的着眼点多少有点像哥伦布立鸡蛋的故事,他敏锐地发现了他以前的数学家没有发现的两点,其中重要的一点就是计算的顺序。

把有限个数相加时,不管怎么变化相加的顺序,答案是不变的。例如计算 a,b,c 三个数的和,用下列六种顺序计算,结果都相同。

a+b+c,b+c+a,c+a+b,a+c+b,c+b+a,b+a+c。

这个事实不仅仅对于三个数成立,甚至100个数,1000个数等,只要是有限个数,总是成立的。

这是做加法运算时非常方便的法则。可是这个法则在无穷个数的加法运算中已经不成立,柯西以前的数学家们谁也没有注意到这个事实。

前面已经叙述了


当决定把它分成


时,实际上已经改变了计算顺序,这就是悖论产生出来的原因。如果规定这个无穷级数按照原来的排列顺序相加计算,悖论就不会产生了。

上面的例子,可以计算如下:


这样计算下去,可以知道这个无穷级数的值逐渐接近In2。

如果按照这个顺序计算下去,就不必担心答案会不一样。柯西还进一步把当时的数学家从一个迷信当中解放了出来。

这个迷信就是认为无穷级数总是有和的。这一点在有限级数中没有什么怀疑。例如求1000个数的和,只要坚持不懈连续计算下去最后一定会得出正确的答案。

但无穷级数的求和运算也可能没有答案,首先注意到这个问题的人就是柯西。

对于根本不存在的东西,若是假定它存在的话,其结果必然会引起混乱。比方说前面叙述过的波尔察诺级数就是如此,如果认为存在,则


结果得出x=1/2。根据柯西的理论,首先设x的做法就不对,答案必然不对。

由于无穷级数也可能没有和,所以后来的数学家不必非得找个什么理由去求和了。

柯西理会到进行无穷级数的求和运算过程中,不能随意改变相加的顺序,而且也可能有的无穷级数没有和,他还提出了与以前不同的新的想法,这就是数列的收敛和发散的概念。

设有下列无穷级数


要计算这个级数,必须从左边开始按顺序地相加:


此刻,形成一列数s?,s?,s?,…,像这样按顺序排列的数叫数列。根据柯西的理论,这个数列在渐渐逼近某一确定数 s 的时候,成为数列sn收敛于s,把收敛目标的数 s 称作极限。

例如


这个无穷数列逐渐接近0,所以它收敛于0,极限是0(见图10-7)。


说到这里可能有人认为所有的困难都已经解决了,可是还有一个问题没有解决,那就是 '逐渐逼近s ' 这句话。

* 节选自《数学与生活》10.3~10.4,作者远山启[日]。

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