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数学中的知识点就像无穷级数的项一样无穷无尽。 今天超模君就要跟8岁表妹讲讲一个有关无穷级数的悖论——黎曼悖论。 超模君：表妹，你知不知道无穷级数是啥呀？ 表妹：不知道哎，是啥呀？ 超模君：简单来说，无穷级数就是用解析的形式来逼近函数，一般就是利用比较简单的函数形式，逼近比较复杂的函数，即把无穷个一般项相加在一起无限逼近目标函数。 我们来看一个简单的无穷级数： 这些无数个项的加起来的和是ln2，大概等于0.69。也就说这是一个收敛于ln2的无穷级数。 表妹：噢~原来无穷级数长这样呀。 超模君：是的，今天我们要讨论的重点就是有关这个无穷级数的一个悖论。 表妹：这又怎么说？ 超模君：我们在小学就学过加法交换律，知道a+b=b+a，项的顺序改变后和不变，还有加法结合律，（a+b）+c=a+（b+c）。 表妹：哎，这个我学过！ 超模君：别高兴的太早，我们来看看这些规律在无穷级数中还适不适用。 现在我们尝试把刚提到那个无穷级数调换一下顺序： 然后我们先把小括号里的数算出来，再看看式子变成了什么样。 我们只是重新排列了一下这些项，然后加上了一些括号，这个无穷级数就变成了另外一个模样了。 按道理来说，这个无穷级数只是讲过这些变换后的和应该是不变的，然而…… 当我们把化简后的数列跟之前的数列相比较一下会发现，化简后的数列每一个对应位置的项都是原来的二分之一。 照这么算，那变换后的数列的和就应该是ln2的一半，而不是ln2了。 那 表妹：啊？！那这到底是怎么回事呢？ 超模君：会出现这种状况有两种原因，一是我们长期以来深信不疑的数学原理出来问题，二是我们的运算过程出了问题。表妹你更相信哪种呢？
表妹：那肯定是我们出问题啦！要是数学原理有问题估计也轮不到我们来推翻。 超模君：不愧是我的表妹，机智如我！
那到底是哪里出来问题呢？我们来回头仔细看看。 我们把刚刚的所有数列及结果排成一列，会发现有三个等式。
其中有两个等号是正确的，有一个是错误的，那是哪个等号出了问题呢？ 表妹：我猜是中间那个！ 超模君：哎，猜的还真准！
第一个等号的正确是毋庸置疑的，而第三个变换后的数列化简出来的结果也确实等于ln2。所以错的就是中间这个等号了。
事实上，是我们不当的重新排列了数列里的项，从而改变了数列的规律，这就使级数产生了跟原来不同的结果。 跟有限数列不同的是，无穷级数中项的顺序很重要，随便重新排列都有可能会改变原有的和，产生新的结果。 表妹：原来是这样。
超模君：是呀，其实这个现象很早就已经被发现了，著名的数学家，波恩哈德·黎曼还由此建立了一个定理——黎曼重排定理。也就是黎曼悖论。
波恩哈德·黎曼：曾在1859年提出黎曼猜想，黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，并且是当今数学界最重要的数学难题。 黎曼重排定理指出，在特定的级数中，可以通过重新排列的方法使级数和等于你想要的特定值。 在解释黎曼重排定理之前，我们先了解一下几种无穷级数。 我们来看上面提到的无穷级数，从第一项开始看看他的数列项和是多少。
那么二三四五呢？
我们会发现，随着项数的增加，这串级数会趋近于一个特定的值，就是ln2。于是我们便称这串数字有一个级数和，这个和就是ln2。
这也就是无穷级数之和的定义，但这只是一个收敛级数的例子。 还有一些发散的级数，比如把这个级数里的“－”变成“＋”。
那么这个级数的和便是无穷大，而不是一个确定的数值了。 像其他类型的发散级数还有这种。
他的级数和可以是1可以是0，也不确定，因此也是发散的。 还是用刚刚的那个收敛级数为例子，我们先把里面的正负项分开。
这样所有的正数项相加就会得到正无穷，所有的负数项相加就会得到负无穷。 而我们现在要探讨的就是如何以适当的方式将∞加上－∞来得到特定值。 黎曼重排定理中如果收敛级数的正数项相加是∞，而负数项相加是－∞时，就可以通过重新排列的方式把最后的级数和变成任何你想要的数字。 现在我们把这个特定值设为π，来一起看看要怎么排列。
由于π是一个正数，那我们先从正数项开始处理。 正数项中的第一个数字是1，那我们取第一项后的级数和就是1。
要达到π≈3.14，这明显是不够的，那我们多取几项。
当加到多一项正好比π多一点，而少一项比π少一点时，我们开始在负数项里取。
但负数项第一项是－1/2，加上去后级数和又太小了。
为了使和变大点，我们再继续取正数项以抵上减少的那部分。
当然抵上后级数和也还不能达到刚好π的数值，我们再继续取负数项，少了就取正数项，多了就取负数项。 由于正数项的和是无穷大，负数项的和是无穷小，那么无论得到的级数和离π有多远我们都能取到足够的项来补上。 而且，因为这些数列项的数量级越来越小，所以每次加上正数项或负数项后得到的级数和都会更接近π，因此只要不断重复上一步最终就能得到π。
其实我们还有无限种重新排列这个无穷级数的方法能得到π，同样也可以用这些方法得到其他任意的数值。 但还有一些无穷级数无论你如何重新排列他的数列项都无法改变他的级数和。 比如，有些收敛级数的正数项和总是一个正数，而负数项和也总是一个负数。 举个例子，一个收敛级数的正数项和是2，负数项和是－7。
这种情况下，无论我们如何排列他的数列项或者加上无数个小括号，他的级数和都只会是2－7＝－5。
再补充一个点，只要是对于收敛的无穷级数，无论如何加上小括号，他的级数和都不会变。 这说明在收敛的无穷级数中虽然加法交换律不能用了，但至少我们的加法结合律还是能用的。但在发散的无穷级数中就不一定了。 表妹：那情况有好多种噢，表哥你能总结一下吗？ 超模君：没问题！简单总结下来，如果我给出一个随意的无穷级数，那么会有三种情况：
表妹你学废了吗？
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来自： taotao_2016 > 《数学》
ln2当然是不等于ln2的，也就是说边变换后的数列并不等于原来的数列。
