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1. 角平分线的性质定理： （1）文字语言：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 （2）符号语言： ∵OE是∠AOB的平分线，CF⊥OA，DF⊥OB ∴CF＝DF （3）定理证明：在△DOF和△COF中，
∴CF＝DF（全等三角形的对应边相等） （4）定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题。 2. 角平分线性质定理的逆定理： （1）文字语言：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 （2）符号语言： ∵PC⊥OA，PD⊥OB，PC＝PD ∴∠DOF＝∠COF（OP为∠AOB的平分线）。 （3）定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线。 3. 关于三角形三条角平分线的定理： （1）文字语言：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。 （2）符号语言： ∵AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线 ∴① AP、BQ、CR相交于一点I； ②若 ID⊥BC，IE⊥CA，IF⊥AB，则DI＝EI＝FI。 （3）定理证明：∵ AP平分∠BAC，IE⊥CA，IF⊥AB ∴EI＝FI（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等） 同理DI＝EI，DI＝FI ∴DI＝EI＝FI（等量代换） （4）定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于几何作图问题。 （5）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部。
【典例精析】 例题1 已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB＝AC，P为∠A内一点，PB＝PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。求证：PE＝PF。 思路导航：连接AP，然后利用“边边边”证明△ABP和△ACP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAP＝∠CAP，再利用角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可。 答案：证明：如图，连接AP， 在△ABP和△ACP中，
∴∠BAP＝∠CAP， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴PE＝PF。 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键。
例题2 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。 思路导航：首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是角平分线即可。 答案：证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴Rt△BDE和Rt△DCF是直角三角形。 ∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）， ∴DE＝DF， 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD是△ABC的角平分线。 点评：此题主要考查了角平分线的逆定理，综合运用了直角三角形全等的判定。由三角形全等得到DE＝DF是正确解答本题的关键。
例题3 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，DE平分∠ADC。求证：AE是∠DAB的平分线。 思路导航：先过点E作EH⊥AB于点H，反向延长EH交DC的延长线于点G，过点E作EF⊥AD于点F，由平行线的性质可知EG⊥AC，由于E是BC的中点，可得出Rt△CGE≌ Rt△BHE，故GE＝EH，再根据角平分线的性质可知EF＝GE，故EF＝EH，进而可得出结论。 答案：证明：过点E作EH⊥AB于点H，反向延长EH交DC的延长线于点G，过点E作EF⊥AD于点F， ∵AB∥CD，EH⊥AB， ∴EG⊥DC， ∵点E是BC的中点， ∴CE＝BE， 在△CGE与△BHE中 ∴△CGE≌△BHE（ASA）， ∴GE＝EH， ∵DE平分∠ADC， ∴GE＝EF， ∴GE＝EH， ∴EF＝EH， ∴AE是∠DAB的平分线。
点评：本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键。 随堂练习：下列各语句中不正确的是（ ） A. 全等三角形的周长相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D. 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等 答案：两个三角形全等，则对应边和对应角都相等，故A,B都是正确的。D选项是线段垂直平分线的性质，故D正确。到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，故选C。
【总结提升】 角平分线与线段垂直平分线的对比理解：
（答题时间：15分钟） 1. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三条角平分线的交点 2.如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上。下列条件中不能推出AB＝AB′的是（ ）
A. BB′⊥AC B. BC＝B′C C. ∠ACB＝∠ACB′ D. ∠ABC＝∠AB′C 3. 如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（ ）
A. 全部正确 B. 仅①和②正确 C. 仅①正确 D. 仅①和③正确 4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3 cm，那么AE＋DE等于（ ）
A. 2cm B.3cm C. 4cm D.5cm 5. 如图，P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，写出图中一对相等的线段（答案不唯一，只须写出一对即可）______。
6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝8cm，BD＝5cm，那么D点到直线AB的距离是________cm。
7. 如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，AD平分∠CAB。交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6，求△DEB的周长。
8. 已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＋AD，AE平分∠BAD交CD于点E。求证：BE⊥AE。
1. D 解析：因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形三边的距离相等的点是三条角平分线的交点。故选D。 2. B 解析：如图：∵AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，
A. 若BB′⊥AC，在△ABC与△AB′C中，∠BAC＝∠B′AC，AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′， ∴△ABC≌△AB′C， AB＝AB′； B. 若BC＝B′C，不能证明△ABC≌△AB′C，即不能证明AB＝AB′； C. 若∠ACB＝∠ACB′，则在△ABC与△AB'C中，∠BAC＝∠B′AC，AC＝AC，△ABC≌△AB′C，AB＝AB′； D. 若∠ABC＝∠AB′C，则 故选B。 3. B 解析：∵PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，AP＝AP ∴△ARP≌△ASP（HL） ∴AS＝AR，∠RAP＝∠SAP ∵AQ＝PQ ∴∠QPA＝∠SAP ∴∠RAP＝∠QPA ∴QP∥AR 而在△BPR和△QSP中，只满足条件∠BRP＝∠QSP＝90°和PR＝PS，找不到第3个条件，所以无法得出△BPR≌△QSP 故本题仅①和②正确。 故选B。 4. B 解析：∵∠ACB＝90°， ∴EC⊥CB， 又BE平分∠ABC，DE⊥AB， ∴CE＝DE， ∴AE＋DE＝AE＋CE＝AC＝3cm 故选B。 5. PC＝PD 解析：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC＝PD（角平分线的性质）。 故填PC＝PD。 6. 3 解析：由∠C＝90°，AD平分∠CAB 作DE⊥AB于点E 所以D点到直线AB的距离是DE的长 由角平分线的性质可知DE＝CD 又BC＝8cm，BD＝5cm 所以DE＝CD＝3cm。 所以D点到直线AB的距离是3cm。 7. 解：△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，AB＝6 根据勾股定理得2CB2＝AB2，
∵AD平分∠CAB ∴∠CAD＝∠EAD ∵DE⊥AB ∴∠DEA＝90°＝∠C ∴△CAD≌△EAD（AAS）
8. 证明：延长AE、BC交于点F， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠CFE， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAF， ∴∠BAF＝∠CFE， ∴AB＝BF， ∵AB＝BC＋AD，BF＝BC＋CF， ∴AD＝CF， ∴△ADE≌△CFE， ∴AE＝FE， ∴BE⊥AE。
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