中考三角形专题复习：一般三角形知识全面梳理

今天我们一起来对一般三角形的知识进行全面梳理。

知识点一：三角形的边、角关系

1、三边关系

（1）三角形任意两边的和大于第三边；

（2）三角形任意两边的差小于第三边。

总结：判断构成三角形的条件：①已知三条线段的长，只要最短两条线段长度的和大于第三条线段的长度，即可判定其能构成三角形；②已知两边，求三角形周长时，此时一定要利用三边关系先判断第三边长度的范围，再计算周长。

例1 以下各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ ）

A. 1，1，2 B.1，2，4 C.2，3，4 D.2，3，5

【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求解。

【解答】

A、1+1=2，不满足三边关系，故错误；

B、1+2＜4，不满足三边关系，故错误；

C、2+3＞4，满足三边关系，故正确；

D、2+3=5，不满足三边关系，故错误．

故选：C．

【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．

例2 若一个三角形的两边长分别为5和7，则该三角形的周长可能是（ ）

A．12 B．14 C．15 D．25

【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即可求解．

【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边大于2，而小于12．

则周长L的取值范围是：14＜L＜24．观察选项，只有选项C符合题意．

故选：C．

【点评】此题考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，确定第三边的取值范围．再进一步确定周长的取值范围．

2、内外角关系

（1）三角形三个内角的和等于180°，直角三角形的两个锐角互余。

（2）三角形的外角和等于360°。

（3）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任意一个和它不相邻的内角。

例3 如图，在△ABC中，D是BC上延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A等于（ ）

A．20° B．30° C．70° D．80°

例3图

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

【解答】由三角形的外角性质得，∠A＝120°﹣40°＝80°．故选：D．

【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

例4 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）

A．45° B．60° C．75° D．85°

例4图

【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF＝∠DGB＝45°，再利用∠α＝∠D+∠DGB可得答案．

【解答】解：如图，

∵∠ACD＝90°、∠F＝45°，

∴∠CGF＝∠DGB＝45°，

则∠α＝∠D+∠DGB＝30°+45°＝75°，

故选：C．

【点评】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．

知识点二：三角形中的重要线段

1、角平分线

结论：1、角平分线上的点到角的两边的距离相等。

2、三角形三条角平分线交于一点，这点叫三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。

例5 如图，△ABC中，点O是△ABC角平分线的交点，∠A＝40°，则∠BOC＝（ ）

A．110° B．120° C．130° D．140°

例5图

2、中线

表述：∵AD是△ABC的中线

∴BD=CD

结论：1、中线将三角形分割成等底同高（即面积相等）的两个三角形。即S△ABD=S△ACD

2、三角形的三条中线交于一点，这点叫三角形的重心。

例6 如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB=8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，求AC的长。

例6图

【分析】依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE=BE，再根据AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，即可得到AC的长．

【解答】解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，

∴CE=BE，

又∵AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，

∴AC-AB=2cm，

即AC-8=2cm，

∴AC=10cm

【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．

3、中位线

表述：∵D、E分别是AB、AC的中点

∴DE是△ABC的中位线

∴DE∥BC且DE=1/2BC

结论：几何图形中见到中点常寻找同一三角形中的另一边的中点并连接（常作辅助线之一）

例7 如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．若DE＝3，求线段BC的长

例7图

【分析】直接根据三角形的中位线定理即可得出结论．

【解答】解：∵△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线．

∵DE=3，

∴BC=2DE=6．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．

4、高线

表述：∵AD⊥BC

∴∠ADB=∠ADC=90°

结论：1、常应用高线中的互余角和直角三角形的勾股定理计算

2、三角形的三条高交于一点，这点叫三角形的垂心。

例8 如图，在△ABC中，AD，AE分别是三角形的高和角平分线，其中∠B＝45°，∠C＝65°，求∠AED和∠EAD的度数．

例8图

【分析】首先运用三角形的内角和定理即可求得∠BAC，再根据角平分线的定义求得∠BAE，再运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠AED，最后根据三角形的内角和定理即可求解．

【解答】解：∵∠B＝45°，∠C＝65°，

∴∠BAC＝70°，

又AE是三角形的角平分线，

∴∠BAE＝35°，

∴∠AED＝∠BAE+∠B＝80°，

又AD是三角形的高，

∴∠EAD＝10°．

【点评】主要运用三角形的内角和定理及其推论，以及角平分线的概念．

5、中垂线（垂直平分线）

表述：∵DE是AB的垂直平分线

∴AD=BD,DE垂直AB

结论：1、可以从垂直平分线出发得到相等线段、角和互余角等，还可以得到等腰三角形。

2、三角形三条边的垂直平分线交于一点，这点叫三角形的外心。外心到三角形三个顶点的距离相等。

例9 已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角．

【解答】解：①当△为锐角△时，如图

∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，

∴∠A＝50°

②当△为钝角△时，如图

∠ADE＝40°，∠DAE＝50°，

∴顶角∠BAC＝180°﹣50°＝130°

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．