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继上两期我们讨论学习了《等腰三角形与分类讨论》、《直角三角形与分类讨论》之后，这期我们继续探究《相似三角形与分类讨论》。至此，与三角形有关的分类讨论就完整了。三角形相似的分类讨论有两种情形：一是对应边、对应角不确定，需要分类讨论；二是图形不确定，需要分类讨论。1、对应边、对应角不确定（2015年广东梅州）已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是 （ ） .（写出一个即可）解析：此题中，由于两个三角形的对应边、对应角不确定，需要分类讨论。如果能够熟练掌握三角形相似的一些基本图形，根据基本图形，再结合三角形相似的判定方法，可以很快得出答案。  'A'型  反'A'型 根据基本图形中的“A”型和反“Ａ”型相似，①按照两角对应相等两三角形相似，可添加的条件有∠AEF=∠B、∠AFE=∠C或∠AEF=∠C、∠AFE=∠B；②按照两边对应成比例且夹角相等两三角形相似，可添加的条件有AE/AB =AF/AC或AE/AC =AF/AB；③按照三边对应成比例两三角形相似，可添加的条件有AE/AB =AF/AC=EF/BC或AE/AC =AF/AB=EF/BC。但由于此题只需要增加一个条件，选择①或②中的任意一个条件即可。2 、图形不确定 （2015青海）如图，二次函数y=ax2 bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M． （1）求该抛物线的解析式； （2）判断 △BCM的形状，并说明理由； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。  解析：（1）y=x2﹣2x﹣3； （2）△ BCM为直角三角形，理由为： 对于抛物线解析式y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即顶点M坐标为（1，﹣4），则C（0，﹣3），根据勾股定理得：BC=3√2，BM=2√5，CM=√2，∵ BM2=BC2 CM2，∴ △ BCM为直角三角形；（3） 此题中，△BCM是已知的、形状确定的三角形，△PAC是未知的三角形。为确定△PAC的形状，先要确定△BCM的形状。由第（2）问已经知道△BCM为直角三角形，这样要探索的问题△PAC与△BCM相似，就转化为探索△PAC是直角三角形。由于△PAC的直角顶点没有确定，因此要分类讨论。由（2）可知，△BCM是直角三角形，且两直角边的比例关系为1比3，锐角虽然不是特殊角，但可根据两直角边的比例关系求出正切。直角△BCM中，tan∠MBC=1/3,（或tan∠BMC=3），实际上这个角已经确定了，只需要直角三角形PAC中，有一个角的正切值为1/3（或3）就可以。方法如下：① 点P为直角顶点时，如图1，  AC为斜边，因为△ OAC为直角三角形，且OA/OC=1/3，则O即为所求的点P，∴P（0,0）.② 点A为直角顶点时，如图2，  过A作P1A垂直AC交y轴于P1,此时直线P1A与x轴除A外无其他交点，因为直线AC的解析式为y=-3x-3，则直线P1A的解析式为y=1/3x 1/3,则P1（0,1/3）, P1A/AC=1/3，则∠P1CA=∠MBC，满足△ CA P1∽ △ BCM，∴P1（0,1/3）。③ 点C为直角顶点时，如图3，  过C作P2C⊥AC交x轴于P2,此时P2C与y轴除C外无其他交点，则可求得直线P2C的解析式为y=1/3x-3，则P2（9,0），tan∠C P2A=OC/O P2=1/3，∠C P2A=∠MBC,满足△ P2CA∽ △ BCM，∴ P2（9,0）.综上所述，符合题意的点有三个：P（0,0）,P1（0,1/3），P2（9,0）． 此题考查了二次函数、一次函数、相似三角形、直角三角形、坐标几何及分类讨论、数形结合法等知识和方法。 解题的关键在于确定△BCM的形状（直角三角形且两条直角边的比例为1比3），从而由相似关系得到△PAC的形状（也是直角三角形且两条直角边的比例为1比3），这样问题转为为特殊三角形的存在性问题，只需根据直角顶点进行分类讨论即可使问题得解。 此题两个直角三角形两直角边的比例为1比3且夹角为90°就可以判断出两个三角形相似，这里特别引入了三角函数tanα是从另外一个角度去考虑：两角对应相等的两个三角形相似，利用另一种方法判定相似。在直角三角形中，三边确定，三个三角函数值都确定，反过来，任何一个内角的三角函数值确定，则角也确定。有的题目中可以根据实际考虑使用其他三角函数值确定角相等。后记 三角形相似问题，一直以来都是中考命题的热点之一。考查时，一般有一个三角形是已知的、形状确定的三角形，另一个是未知的三角形。三角形相似问题常与函数知识联系在一起，综合考察学生的图形分析能力、运算能力。解答此类问题，熟悉三角形相似的各种判定方法及性质，掌握相似三角形的基本图形，灵活运用转化思想及分类讨论的方法是关键。 |
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