数 学 F单元 平面向量 F1 平面向量的概念及其线性运算 5.、[2014·辽宁卷] 设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0,命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c,则下列命题中真命题是( ) A.p∨q B.p∧q C.(綈p)∧(綈q) D.p∨(綈q) 5.A 15.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知A,B,C为圆O上的三点,若AO→=12(AB→+AC→),则AB→与AC→的夹角为________. 15.90° 7.[2014·四川卷] 平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 7.2 F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 4.[2014·重庆卷] 已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=( ) A.-92 B.0 C.3 D.152 4.C 8.[2014·福建卷] 在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( ) A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 8.B 16.,[2014·山东卷] 已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图像过点π12,3和点2π3,-2. (1)求m,n的值; (2)将y=f(x)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图像,若y=g(x)图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间. 16.解:(1)由题意知,f(x)==msin 2x+ncos 2x. 因为y=f(x)的图像过点π12,3和点2π3,-2, 所以3=msinπ6+ncosπ6,-2=msin4π3+ncos4π3, 即3=12m+32n,-2=-32m-12n, 解得m=3,n=1. (2)由(1)知f(x)=3sin 2x+cos 2x=2sin2x+π6. 由题意知,g(x)=f(x+φ)=2sin2x+2φ+π6. 设y=g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2). 由题意知,x20+1=1,所以x0=0, 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2). 将其代入y=g(x)得,sin2φ+π6=1. 因为0<φ<π,所以φ=π6. 因此,g(x)=2sin2x+π2=2cos 2x. 由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z得kπ-π2≤x≤kπ,k∈Z, 所以函数y=g(x)的单调递增区间为kπ-π2,kπ,k∈Z. 13.[2014·陕西卷] 设0<θ<π2,向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若a∥b,则tan θ=________. 13.12 18.,[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上. (1)若PA→+PB→+PC→=0,求|OP→|; (2)设OP→=mAB→+nAC→(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值. 18.解:(1)方法一:∵PA→+PB→+PC→=0, 又PA→+PB→+PC→=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y), ∴6-3x=0,6-3y=0,解得x=2,y=2, 即OP→=(2,2),故|OP→|=22. 方法二:∵PA→+PB→+PC→=0, 则(OA→-OP→)+(OB→-OP→)+(OC→-OP→)=0, ∴OP→=13(OA→+OB→+OC→)=(2,2), ∴|OP→|=22. (2)∵OP→=mAB→+nAC→, ∴(x,y)=(m+2n,2m+n), ∴x=m+2n,y=2m+n, 两式相减得,m-n=y-x, 令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1. F3 平面向量的数量积及应用 10.[2014·北京卷] 已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=________. 10.5 11.[2014·湖北卷] 设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ=________. 11.±3 14.[2014·江西卷] 已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α=13,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cos β=________. 14.2 23 4.[2014·全国卷] 若向量a,b满足:=1,(a+b)⊥a,(+b)⊥b,则|=( ) A.2 B.2 C.1 D.22 4.B 3.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 3.A 12.,[2014·山东卷] 在△ABC中,已知AB→·AC→=tan A,当A=π6时,△ABC的面积为______. 12.16 8.[2014·天津卷] 已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若AE→·AF→=1,CE→·CF→=-23,则λ+μ=( ) A.12 B.23 C.56 D.712 8.C F4 单元综合 15.[2014·安徽卷] 已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量,,,,和,,,,均由2个a和3个b排列而成.记S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4+x5·y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值,则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号). ①S有5个不同的值 ②若a⊥b,则Smin与|a|无关 ③若a∥b,则Smin与|b|无关 ④若|b|>4|a|,则Smin>0 ⑤若|b|=2|a|,Smin=8|a|2,则a与b的夹角为π4 15.②④ 16.[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,3),C(3,0),动点D满足|CD→|=1,则|OA→+OB→+OD→|的最大值是________. 16.1+7 10.,[2014·四川卷] 已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA→·OB→=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.1728 D.10 10.B 8.[2014·浙江卷] 记max{x,y}=x,x≥y,y,xA.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|} B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|} C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2 D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2 8.D
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