1.解:设该菱形为菱形ABCD,两对角线交于点O,则△AOB为直角三角形,直角边长分别为2cm和4cm,则有勾股定理,得AB=√(OA^2+OB^2 )=√(2^2+4^2 )=2√5 (cm), 即林习惯的边长为2√5 cm. 2.解:由OA=OB=√2/2 AB,可知OA^2+OB^2=AB^2,则∠AOB=90°. 因为OA=OB=OC=OD,所以AC,BD互相垂直平分且相等, 故四边形ABCD必是正方形. 3.解:不一定是菱形,因为也可能是矩形. 4.已知:如图1-4-20所示,菱形BACD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=60cm,周长为200cm.求(1)BD的长;(2)菱形的面积. 解:(1)因为菱形四边相等,对角线互相垂直平分,所以AB=1/4×200=50(cm), AC⊥BD且OA=OC= 1/2 AC= 1/2×60=30(cm),OB=OD.在Rt△AOB中,OB=√(AB2-AO2)=√(502-302)=40(cm). 所以BD=2OB=80cm. (2)S菱形ABCD=1/2 AC?BD= 1/2×60×80=2 400(cm^2 ). 5.已知:如图1-4-21所示,在四边形AB-CD,对角线AC⊥BD,E,F,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA的中点. 求证:四边形EFPQ为正方形. 证明:∵E,Q分别为B,AD的中点, ∴四边形EFPQ为平行四边形. ∵AC=BD,∴EF=EQ. ∴□EFPQ为菱形. ∵AC⊥BD,∴EF⊥EQ. ∴∠QEF=90°. ∴菱形EFPQ是正方形. 6.解∵AC=EC,∴∠CEA=∠CAE.由四边形ABCD是正方形.得AD//BE, ∴∠DAE=∠CEA=∠CAE. 又∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°, ∴∠DAE=1/2∠DAC= 1/2×45°=22.5°. 7.解:(1)是正方形,因为对角线相等的菱形必为正方形. (2)是正方形,因为这个四边形的对角线相等,四条边也相等. 8.证明:如图1-4-22所示, ∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2. ∵DE//AC,∴∠2=∠3. ∴∠1=∠3.∴AE=DE. ∵DE//AC,DF//AB, ∴四边形AEDF是平行四边形. 又AE=DE,∴□AEDF是菱形. 9.证明:如图1-4-23所示, ∵BE⊥AC,ME为Rt△BEC的中线, ∴ME=1/2BC. 同理MF=1/2BC,∴ME=MF. 10.已知:四边形ABCD是正方形,对角线AC=BD=l.求正方形的周长和面积.解:正方形ABCD中,AB=BC,∠B=90°.在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,2AB2=l2,所以AB=√2/2l.所以正方形的周长=4AB=4×√2/2 l=2√2 l,S四边形ABCD=AB^2=(√2/2 l)^2=1/2 l^2. 11.证明:∵CP//BD,DP//AC, ∴四边形CODP是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD. ∵OC=1/2 AC,OD= 1/2 BD,∴OC=OD ∴四边形CODP是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形). 12.证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD. ∵OA=OC,OB=OD, 又∵AM=BP=CN=DQ, ∴OA-AM=OC-CN,即OM=ON,OB-BP=OD-DQ,即OP=OQ, ∴四边形MPNQ是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形). ∵AM+MN+NC=AC,BP+PQ+DQ=BD, ∴MN=PQ,∴四边形MPNQ是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形). 13.证明:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB, ∴∠FCD=1/2∠ACB=45°. ∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°. 在Rt△FCD中,∠FDC=90°-∠FCD=90°-45°=45°, ∴∠FCD=∠FDC,∴FC=FD. ∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°. ∴∠DFC=∠FCE=∠DEC=90°. ∴四边形DFCE是矩形(有个三角是直角的四边形是矩形). ∵FC=FD,∴四边形CEDF是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形). 14.解:由AP=4t cm,CQ=l cm, ∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC-CQ=(20-t)cm. ∴DQ=DC-CQ=(20-t)cm. 当四边形APQD是矩形时,则有DQ=AP, ∴20-t=4t,解得t=4 ∴当t为4时,三角形APQD是矩形. 15解:△BFD是等腰三角形,理由如下: ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD//BC,∴∠ADB=∠DBC. ∵∠FBD=∠DBC, ∵∠FBD=∠ADB,∴BF=DF. ∴△BFD是等腰三角形. 16.解由题意知,矩形ABCD≌矩形GCDF, ∴AB=FG,BC=GC,AC=FC, ∴△ABC≌△FGC, ∴∠ACB=∠FCG. ∵∠ACB+∠ACD=90°, ∴∠FCG+∠ACD=90°, 即∠ACF=90°. ∵AC=CF,∴△ACF是等腰直角三角形. ∴∠AFC=45°. 17.解不一定,因为还可能是菱形,若要判断这块纱巾是否为正方形,还需要检验对角线是否相等. 18.证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC//DA. ∴∠DAB+∠ABC=180°. ∵AH平分∠DAB,BH,平分∠ABC, ∴∠HAB=1/2∠DAB,∠HBA= 1/2∠ABC. ∴∠HAB+∠HBA=90°. ∴∠H=90°. 同理可证∠F=90°,∠HEF=90°. ∴四边形EFGH是矩形. 19.解:略.提示:如图1-4-24所示图形仅供参考. |
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