有童鞋在朋友圈留言,希望我写写圆锥曲线综合题的解法. 的确,这个部分有写头. 前天写了椭圆的直径,我们发现椭圆和圆有不少相似之处;今天继续谈它们的另一个相似点----垂径定理. 一、什么是椭圆中的垂径定理? 为把问题讲清楚,先说说“点差法”. 高中阶段,处理直线和圆锥曲线的方法主要有两个: 1是联立方程法;2是点差法. 点差法顾名思义就是,取点代入,然后作差. 如上图所示. 下面我们来实施点差法. 观察(4)式的特点. 由此我们得到下面的结论. 我们和圆作类比. 如果MN为圆中非直径的弦,P为MN的中点,有什么结论呢? 我们能自然联想到圆中的垂径定理及其推论. 大家比较上面椭圆中的结论和圆中的结论,是不是很像? 在椭圆的直径中,我们讲过这样的观点:圆可以看做椭圆的一个特例,即当短半轴b无限趋近于长半轴a时,椭圆近似可看做圆. 所以,我们形象地把这个小结论称为椭圆中的垂径定理. 请大家注意,如果椭圆的焦点在y轴上,从推导过程可以看出,小结论有点变化. 也就是说,当焦点位置变化时,结论中的a,b要互换位置. 二、什么情况下用这个小结论? 从结论的描述中,我们能够看到:如果遇到弦的中点,需要解决斜率相关问题,考虑使用椭圆中的垂径定理. 看一个栗子. 分析:这道题每一问都设计到弦的中点,简直为我们的小结论设计的. 各位看官,请自觉解题5分钟. 首先分析焦点位置,以便于判断采用哪一个结论. 下面利用小结论解题. 注意,这里有一个检验过程,确保直线与椭圆是相交的.不然的话,结论是海市蜃楼. 注意讨论B点是否和原点重合,注意标注轨迹方程的范围. 同样,注意讨论平行于坐标轴的情况,注意本问中轨迹方程也有范围限制,需强调在椭圆内的部分.当然,你能够精确计算出坐标的范围最好. 亲爱的读者,在圆锥曲线中,双曲线和椭圆最为类似,你能写出在双曲线中类似的结论吗? |
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