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“数与代数”方面的内容很多。为了便于复习，教材按数的认识、常见的量、数的运算、式与方程、正比例和反比例等五节编排。而且，数的认识还分成整数与小数、分数与百分数两段，数的运算又分成四则计算、混合运算与运算律、解决问题的策略与方法三段进行复习。 《标准（2011年版）》把“数与代数”部分的教学内容分成数的认识、数的运算、常见的量、式与方程、正比例和反比例、探索规律等六部分，本单元教材分五节复习“数与代数”的知识，把探索规律分散着陆续安排，显然和《标准（2011年版）》的要求是一致的。教学时，应该经常对照《标准（2011年版）》规定的内容与要求，检查、评价教学效果，调控复习内容的宽度与深度。 （一）回忆学过的数，沟通整数、小数、分数以及百分数的联系，突出数的意义和计数方法，加强数的应用，重视发展数感 在一至四年级的教材中，主要教学整数（严格地说是自然数），还初步教学小数与分数。五、六年级的教材初步教学负数，着重教学小数、分数和百分数。“数的认识”复习各种形式的数的意义，帮助学生形成清晰的数概念。前面已经说过，由于数的认识涉及的内容很多，教材分整数与小数、分数与百分数两段逐步复习。 1.把整数与小数放在一起复习，是因为它们都采用十进制计数法。 整数、小数的数位顺序表中，既有整数的计数知识，也有小数的计数知识，许多计数知识是相通且大同小异的，应该形成有较高概括度的计数观念。教材提出问题“你了解整数和小数的哪些知识？”引导学生回忆整数、小数的意义与计数方法。关于整数，小学数学没有给出定义，通常用举例的方式说明什么样的数是整数。如一至四年级陆续教学的“0、1、2、3……都是自然数，也是整数”；后来教学的“-1、-2、-3……等负数也是整数”。关于小数，五年级教材中曾经归纳出“一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……”这是小学生理解的小数意义。所以，学生回忆整数和小数的知识，一般会像“番茄”“辣椒”“萝卜”等卡通那样，采用列举的方式，说出自己的认识。“练习与实践”第3题，要求学生解释五个小数各表示的意义，把0.6说成十分之六、0.08说成百分之八、0.145说成千分之一百四十五，就是对小数意义很具体的描述。 在简单回忆整、小数知识的基础上，教材提出“整数和小数的计数单位，相邻计数单位之间的进率都是几”“读、写整数和小数要注意什么，怎样比较整数和小数的大小，怎样求一个数的近似数”“一个数的因数有什么特点，一个数的倍数呢”等问题，引导学生抓住重点内容，深入回忆有关知识。 整数和小数都是采用十进制计数法，回忆有关知识，应整理计数单位、相应的数位顺序、相邻计数单位之间的进率，再现整数、小数的数位顺序表。十进制计数法有两个要点：一是相邻两个计数单位之间的进率都是10，如10个一是1个十、10个十分之一是1个一、10个百分之一是1个十分之一等；二是“位值原则”，即哪一位上的数是几，就表示几个相应的计数单位。“练习与实践”第2题，涉及的主要内容就是计数法的“位值原则”，百位上的“2”表示2个百、十分位上的“2”表示2个十分之一…… 读、写整数和小数的注意点比较多。就整数的读、写来说，有分级读、写，从高位到低位依次读、写，数中间“0”的读、写，数末尾“0”的读、写等。就小数的读、写来说，有先读整数部分、后读小数部分的次序，而且整数部分的读法和小数部分的读法不同。如果让学生抽象地说出读、写数的注意点，难度较大，也没有必要。教材的要求是“举例说说”，即对着具体的整数或小数，说说怎样读、写。教学可以先引导学生说出一些整数、一些小数。说出的整数中，有位数较少的，有位数较多的；有数里无“0”的，有数里出现“0”的。通过一一读出各数，回忆、整理整数的读法。 从本质上看，比较整数、小数的大小，是比较数的组成。“练习与实践”第5题，练习小数的组成、整数的组成，既加强对整、小数的认识，体验其意义，也为比较数的大小打下知识基础。 求一个数的近似数，包括求整数的近似数和求小数的近似数。求整数的近似数，通常是舍去“万位”或“亿位”后面的尾数；求小数的近似数，通常是保留若干位小数。求整数或小数的近似数，一般采用“四舍五入法”。 “练习与实践”第8题，利用一些有现实意义的多位数，把读数、求近似数、比较大小融为一体，在练习数学技能的同时，体现数学知识的实际应用。第9题则专门练习求小数的近似数。 整数、小数意义的“练习与实践”编排了十四道习题，涉及的内容包括数的意义和表示方法，数的改写与求近似数，数的大小比较或化简，移动小数点的位置计算一个数乘（或除以）10、100、1000的积（或商），因数与倍数的概念和有关知识。 第1题在直线下面的□里填整数或小数，把数轴上的点和相应的数联系起来。在数轴上能清楚地看到，哪些是整数、哪些是小数，能直观感受整数的意义和小数的意义。教学这道题，要体会数轴上的1，联系数轴上表示1的线段理解正数2、3……的含义，以及负数-1、-2、-3……的含义。联系把数轴上的1平均分成10份，理解一位小数的意义。 “数”经常能表示两种现实含义，一种是“有多少”，另一种是“第几个”。具有前一种意义的数称为“基数”，具有后一种意义的数称为“序数”。第4题解释车票和商品说明上的数所表示的意思，体会数能表达和交流信息，在具体情境中有不同的含义。联系数的现实应用，理解数的现实含义，有助于发展数感。 较大数的读、写都有点麻烦。人们遇到较大的数，往往“万”或“亿”作单位进行改写，或者求较大数的近似数。改变数的单位并没有改变数的大小，一个数的近似数与它只是大小接近，不完全相等。改写较大数和求较大数的近似数在方法上有相同的部分，也有不同的部分。如356700＝35.67万，356700≈360000。
奇数与偶数、质数与合数、公因数与公倍数，都是“因数与倍数”范围里的概念。在简单回忆一个数的因数和一个数的倍数以后，第10～14题通过解题复习这些概念，可以把有关概念整理成下面的结构。
第14题把2、3、9、10等九个自然数分类，有助于学生澄清有关的概念。如果按有没有因数2来分类，得到的是奇数或偶数；如果按因数的个数分类，得到的是质数或合数。当然还可以按其他标准来分类，如是不是3的倍数、有没有因数5等。 2.把分数和百分数放在一起复习，是因为它们有本质的联系。 分数和百分数都能表示一个数与另一个数的倍比关系，但是它们也有不同，分数有时还能表示一个数量是多少，而百分数不能作这样的表示。 复习分数和百分数，首先提出问题“你了解哪些有关分数和百分数的知识？”引导学生回忆分数和百分数的意义。这些知识是五、六年级教学的，教材曾经描述性地给出了分数和百分数的定义，学生说出什么是分数、什么是百分数一般不会有困难。可以举出一些分数、百分数的实例，如小林从家步行去学校，已经走了1/2千米，占全部路程的2/5，还有全部路程的60％没有走。解释各个分数、百分数的具体含义，进一步理解分数和百分数在表示一个数是另一个数的几分之几（百分之几）时，意义是一致的。“练习与实践”第2（2）题，把一根3米长的绳子剪成同样长的8段，要求写出每段长是全长的几分之几，每段长是几分之几米。前一个分数表示部分与整体的关系，是部分在整体里占的份额，还可以改写成百分之几。后一个分数表示一份有多少，是一个具体的数量，不能写成百分数。 初步回忆分数和百分数的意义之后，教材又提出三个问题，继续整理分数和百分数的知识。第一个问题是“分数和除法有什么关系？”理解和掌握这个关系，不仅能把分数和除法互相改写，而且能够用分数表示除法的商，用除法解决求一个数是另一个数的几分之几（百分之几）的问题。第二个问题涉及分数的基本性质，而且它和小数性质还是一致的。教材要求“用分数基本性质说明小数的性质”，深入理解分数的基本性质和小数性质的一致性。如0.50是50/100，0.500是500/1000，0.5是5/10。 0.50 ＝ 0.500 ＝ 0.5 ---- 小数的性质 ↓ ↓ ↓ 50/100 ＝ 500/1000 ＝ 5/10 ----- 分数的基本性质 第三个问题是小数、分数和百分数互相改写的方法，包括小数和分数的互相改写，小数和百分数的互相改写，分数和百分数的互相改写。这些改写的方法，既要一一整理，又要突出百分数和小数、分数和小数的改写。如，1.235＝123.5％。
又如，16/25＝0.64。
除了上述内容，分数和百分数的其他知识结合着“练习与实践”里的解题回忆整理。 第1题用分数、小数和百分数表示正方形、正方体图中的涂色部分。图画直观表示出涂色部分占正方形或正方体的十分之几、百分之几、千分之几，根据分数、小数的意义，能够直接写出表示涂色部分的分数和小数。至于百分数，一般从写出的分数或小数得到。 第3题把30％、100％、3％、115％分别应用于具体情境，有些百分数小于1，有的等于1，有的大于1。这道题让学生体会，表示部分与整体关系的百分数，一般小于或等于1（100％），表示两个同类量之间倍比关系的百分数，可以小于1、等于1或大于1。 教材很重视数感的培养。第5题第（1）列数，每个小数的末尾添一个“9”，就是它后面的数。0.9的末尾添“9”（增加9个百分之一）就是0.99，0.99的末尾添“9”（增加9个千分之一）就是0.999。以此类推，0.999末尾添“9”（增加9个万分之一）就是0.9999……写出的数越来越大，逐渐接近1。第（2）列数，每个数都是它前面一个数的1/2，写出的数越来越小，逐渐接近0。发现数列的变化规律，体会数列的发展趋势，有助于培养数感。第6题借助图形直观，先估计五个图形中，哪一个涂色部分的面积所占的百分比最大，再写出五个表示涂色部分占整个图形的百分数，验证前面的估计对不对。把涂色部分与百分数联系起来，借助图形之间的大小关系，体会百分数之间的大小关系；把比较百分数的大小，转化成比较图形的大小。这些都是数感的表现。第9题把40％、10％、10％、25％和15％这五个百分数填入扇形统计图，要观察圆里的五个扇形，估计每个扇形大约占圆的百分之几，才能把五个百分数正确表示到扇形图上。这题也是图形与百分数的对应，图形之间的大小关系与百分数之间的大小关系相辅相成，也有促进数感发展的作用。 第7、8、9题解决求一个数是另一个数的百分之几的问题，应该从实际问题中抽象出数学问题，与百分数意义相联系。如，求种子的发芽率，就是求发芽种子数占种子总数的百分之几；求上衣打几折出售，就是求上衣现在的价钱是原来价钱的百分之几。 （二）整理常见的量，感受各种量的意义，知道各种量的常用单位，并进行简单的换算，培养初步的计量能力。 小学数学教学的量有长度、面积、体积（容积）、质量、时间以及人民币等。《标准（2011年版）》把长度、面积、体积安排在“测量”中教学，“常见的量”只复习质量、时间和人民币的单位和计量。 常用的质量单位是克、千克和吨，相邻两个质量单位之间的进率都是1000。常用的时间单位从小到大有秒、分、时、日、月、年，相邻单位之间的进率不完全相同。人民币单位有分、角、元，相邻单位之间的进率都是10。 学生掌握常见的量，首先要了解有关量的含义，知道各种量的计量单位；然后要了解同一种量相邻单位之间的进率，会进行简单的单位换算；还要使用合适的单位去计量物体的质量、时间的长短、使用的钱数。 教材在“整理与反思”中提出问题，引导学生分别回忆常用的质量、时间、人民币单位，整理各种量相邻单位之间的进率。质量和人民币的单位比较少，同一种量相邻单位的进率相同，容易记住。时间单位多，进率复杂，要帮助学生整理并记住。如下面的形式，可能适合大多数学生：
年——————月————————日————时————分————秒 1年有12个月 大月有31日 1日＝24时 平年有365日 小月有30日 1时＝60分 闰年有366日 2月有28（29）日 1分＝60秒 1年有4个季度 “练习与实践”设计了三个层次的习题。第1题是一个层次，根据计量的内容选择合适的计量单位，表示相应的数量，着重体会各种量的含义，体会各个计量单位有多大，都是基础知识。如，一只小鸟重40（ ），一头牛重250（ ），一头大象重4（ ）。物体有多重，指的是物体的质量。常用质量单位有克、千克和吨，较轻物体的质量可以用“克”作单位，一般物体的质量可以用“千克”计量，较重物体的质量应该用“吨”作单位。又如，一袋面粉重20（ ），50袋这样的面粉重1（ ）。一袋面粉不是很重，用千克作单位符合实际。50袋面粉比较重，有1000千克，刚好是1吨。这样的填空练习，也复习了千克与吨的进率。再如，小新从家到学校用了18（ ），一列火车从广州到上海用了16（ ）。经验告诉学生，从家到学校需要的时间一般不会很多，用“分”作单位比较适当。广州到上海路程相当远，火车行驶时间应该用“时”作单位。第2、3题是一个层次，主要进行计量单位的换算和简单计算，也是基础知识。复习单位之间的换算，要区分是把较大单位的数量换算成较小单位的数量，还是把较小单位的数量换算成较大单位的数量。要概括单位换算的常用方法，把较大单位的数量换算成较小单位的数量，一般是乘进率；把较小单位的数量换算成较大单位的数量，一般是除以进率。学生掌握了单位换算的常用方法，就能解决各种进率的换算问题。对于进率是10、100、1000的单位换算，还可以通过移动小数点的位置得出结果。第4、5、6题是一个层次，主要解决有关常见的量的实际问题。第6题已知每袋大豆重40～50千克，200袋大豆重8000～10000千克，小于10吨，用载重10吨的卡车能一次运完这些大豆。这题主要是口算，但也有估计的味道。 （三）复习运算的知识，提高计算水平，培养解决实际问题的能力。 小学一至四年级着重教学整数的运算，五、六年级着重教学小数和分数的运算，目的是培养学生的运算能力和解决实际问题的能力。数的运算涉及许多知识，主要有四则运算的意义、四则计算的方法、混合运算的顺序、运算律与简便运算、解决实际问题的策略与方法等。 运算能力通常表现为理解运算知识、掌握运算方法，能够灵活、合理地利用运算解决问题。教材把数的运算分成三段复习，突出运算能力的培养。 1.联系解决实际问题，复习四则运算的意义；整理各种形式计算的法则，提高运算水平。 在小学数学中，加法是把两部分合并，求一共有多少的运算；减法是从总数里去掉一部分，求另一部分是多少的运算；乘法是求几个相同加数的和的运算；除法是解决平均分问题的运算。各年级教材都联系现实生活中的许多数量关系，帮助学生理解运算的意义，建立四则运算的概念。 复习运算的意义可以按两条线索进行：一条线索是“整理与反思”时，说说“已经学过哪些运算”并“分别举例说明”，回忆加、减、乘、除四种运算的具体含义。前面各册教材教学四则计算，侧重于在具体的情境中体会和理解各种运算的意义。现在复习四则运算的意义，学生应该能列举用加法、减法、乘法、除法解答的实际问题，并说出为什么用这种运算解答的理由，这就再现了四则计算的意义。另一条线索是“练习与实践”中，解答一步计算的实际问题，重温常见的数量关系，加强对运算意义的理解。小学生关于四则计算概念的理解是在充分的感性认识的基础上逐渐抽象概括的，是在大量具体问题的数量关系中感悟和形成的，绝不是靠接受和记忆定义来实现的。复习四则计算的意义，应该让学生明白加法是把两部分合并，求一共有多少的运算；减法是从总数里去掉一部分，求另一部分是多少的运算；乘法是求几个相同加数的和的运算；除法是解决平均分问题的运算。必须联系现实的问题和具体的数量关系来理解这些概括性的描述。 复习四则计算的算法，先要沟通整数、小数、分数的加、减计算法则之间的联系。由于计算加、减法是把相同单位的数相加、减，所以计算整数加、减法要把相同数位对齐，计算小数加、减法要把小数点对齐，计算异分母分数加、减法要先通分化成同分母分数。然后沟通小数乘、除法与整数乘、除法的联系，突出计算小数乘、除法要分别应用积的变化规律和商不变规律转化成整数乘、除法。还要沟通分数乘、除法的联系，突出分数除法是应用倒数知识转化成分数乘法进行计算。 “练习与实践”第1～4题从三个方面培养计算能力。一是通过练习口算、笔算和估算，使学生能正确计算，达到《标准（2011年版）》的计算要求。对口算的基本要求是：能口算百以内的两位数加、减两位数以及相应的小数加、减法；能口算百以内的两位数乘一位数、两位数除以一位数以及相应的小数乘、除法；能进行比较简单的分数四则计算。对笔算的基本要求是：能计算三位数的加、减法以及相应的小数加、减法；能计算三位数乘两位数、三位数除以两位数以及相应的小数乘、除法；能进行分数的四则计算。对整数估算的基本要求是：把参与运算的数看作最接近的整百数或整十数，通过口算得到结果大约是多少。二是掌握四则运算的验算方法，养成验算习惯，感受加法与减法、乘法与除法的逆运算关系。三是从实际问题和自己的计算水平出发，选择比较适宜的计算方式，高效地解决实际问题。对大多数学生而言，第4题的第（1）小题可以口算，第（2）小题可以估计，第（3）小题可以笔算，第（4）小题可以使用计算器计算。当然，选择哪种计算方式不是绝对的，有些学生解答第（2）小题用笔算，解答第（3）小题用口算也是允许的。第5、6题复习常见的数量关系，主要是单价、数量与总价之间的关系，速度、时间与路程之间的关系。在单价、数量、总价三个数量以及速度、时间、路程三个数量中，已知两个就能求出另一个。这不仅能用于解决实际问题，而且体现了乘法和除法之间的联系，蕴含辩证思想。第7、8题分别求一个数的几分之几是多少，以及已知一个数的几分之几是多少，求这个数。它们是两类不同的问题，但都与分数乘法的意义有关，都含有“一个数的几分之几”这一数量关系，如售出的苹果是收获苹果的5/6，番茄质量是黄瓜的4/5；都能写出分数乘法的数量关系式，如收获苹果的吨数×5/6=售出苹果的吨数，黄瓜的千克数×4/5=番茄的千克数。它们的已知数量和所求数量在数量关系式上的位置不同，第7题已知两个乘数，求积是多少，第8题已知积和一个乘数，求另一个乘数。所以，采取的解法不同，第7题列乘法算式解答，第8题列方程解答。教学这两道题，应突出解题的思想方法是依据实际问题的数量关系，根据问题已知和未知做出的选择。第9题给出《数学童话》《儿童百科知识读本》《小学生字典》《成语词典》等四种书的价钱，还给出“儿童读物七五折出售”。教学这道题要注意两点：一是第（1）问“买《小学生字典》和《成语词典》各1本，付30元够吗？”可以采用估算解答；二是鼓励学生利用已知条件，提出不同的问题并解答。 2.复习运算顺序和运算律，在“整理与反思”栏目回忆有关内容，组织比较完整的知识结构；在“练习与实践”栏目具体应用，形成运算能力。 整数、小数、分数四则混合运算的运算顺序是相同的，应该一并复习。让学生“说说四则混合运算的运算顺序”，可以边回忆边整理，归纳出三种情况：算式里只有加、减法或者只有乘、除法，可以从左往右依次计算；没有括号的算式里，有乘、除法也有加、减法，一般先算乘、除法；有括号的算式里，应该先算括号里面的运算，而且是先算小括号里面的，再算中括号里面的。整数四则混合运算的顺序在四年级教学，后来又应用于小数和分数的四则混合运算，学生比较熟悉，应该能说出来，只要适当整理就可以了。 加法和乘法的运算律适用于整数、小数、分数的加法和乘法。学生可以利用教材中的表格先举例已经学过的运算律，再用字母表示，从而组织成比较完整的知识结构。整数加法和乘法的运算律在四年级教学，教材没有用文字语言讲述运算律，而是用字母组成的等式概括地表示运算律的内涵。所以，这里整理学过的运算律，仍然采用举例和用字母表示这两种形式。当然，适当说说运算律的内容也是需要的，但要避免死记硬背、机械记忆。 运算顺序和运算律都应用于计算。“练习与实践”第1、2题分别应用运算顺序进行四则混合运算和应用运算律进行简便运算，是运算知识的最基本应用。第2题除了应用运算律的简便运算，还有应用运算性质的简便运算。所以，减法性质、除法性质也应复习整理，让学生举例说说这些运算性质的具体内容。“采用简便方法计算”不应是教材的规定，而应成为学生的自主选择。选择合适的方法计算，是运算能力的表现。为此，要从第1、2题中获得两点体会：首先，运算顺序是进行四则混合运算的一般规则，而运算律能改变原来的运算顺序；其次，简便运算是有条件地进行的，需要计算时认真审题，及时发现并利用可以简便计算的条件与机会。第3～5题应用整数、小数运算解决实际问题，最好列综合算式解答，也可以应用运算顺序和运算律进行计算。个别学生列分步算式解题，也是允许的。第7～10题都是分数、百分数的实际问题，需要应用分数和百分数的计算知识。求一个数是另一个数的百分之几（比另一个数多百分之几、少百分之几），求一个数的百分之几是多少，都是六年级教学的，学生应该掌握得比较好。第9题里的三道小题，是分数问题的三种常见类型，编排这个题组有三点意图：一是进一步明确求一个数是另一个数的几分之几（比另一个数多几分之几、少几分之几）的问题特征、思路特点、数量关系和解题方法；二是再次沟通“求一个数的几分之几是多少”与“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”这两种问题的内在联系，在解答方法上，它们既有一致的地方，也有不同的地方；三是体会“舞蹈组人数比美术组少1/9”，不能得出美术组人数比舞蹈组多1/9，而是“美术组人数比舞蹈组多1/8”。 第6题探索算式及其得数的规律。在算式9×9-1、98×9-2里，如果把乘号后面的乘数9改写成（10-1），就能应用乘法分配律改变算式的运算顺序，并通过一步步的口算，得出最后结果。在理解这样计算过程的基础上，照样子计算987×9-3、9876×9-4、98765×9-5，并发现最后得数依次是80、880、8880、88880、888880的规律。这道题能体验运算律的作用，培养学生观察和推理能力，有助于学生提高运算水平。 3.复习解决问题的策略，回顾、反思解决问题经常使用的数学思想与方法，在解题活动中形成较好的思考习惯，提高解决问题的能力。 教材从三年级开始教学解决问题的策略，先是分析数量关系时“从条件想起”与“从问题想起”的推理，然后是理解题意的整理手段（包括列表整理信息与画图整理条件与问题），接着教学了列举、转化、假设等思想方法。本单元在“整理与反思”时，首先回忆“解决问题的一般步骤是什么”，然后列举“解决问题的过程中，经常要用到哪些策略”。解决问题的一般步骤是最基本，也是最上位的策略，“理解题意”“分析数量关系”“求出结果并检验”“回顾反思解题过程”是解决所有问题的共同过程，每一步过程都有比较具体的策略和方法。如，理解题意可以采用列表整理或画图整理的方式；分析数量关系要通过推理来沟通条件与所求问题的联系，或者通过列举、假设、转化等策略寻求问题的解法；求解的方式多种多样，经常采用列式计算，但也不完全是这种方式；检验结果十分必要，它不仅保障结果的正确性，而且是做事情严谨认真态度的体现。回顾反思能积累解决问题的经验，是提高个体解决问题能力的重要渠道。 “练习与实践”里的习题分两个板块编排。 第1～5题属于一个板块，都是由常见数量关系构成的实际问题，与前几册教材中的实际问题比较接近。解决这些问题的策略，主要是整理题意和分析条件与问题之间的联系。解答每一道题都要理解题意，理解题意应根据需要采用不同的形式。有些题只要读一读，在头脑中理一理就明白了；有些题可能要摘录条件与问题，通过列表或画图整理才能懂得。理解同一个问题，有些学生只要读读想想就明白了，有些学生可能需要某种方式的整理才能明白。“整理”作为解决问题的策略，不是教材和教师对学生解题的附加规定，而是学生解决问题时的自我要求。解答第1～5题要鼓励学生选择自己需要的形式理解题意，如果能够读懂题目、记住数据，不一定去列表、画图，如果题目读不懂、数据记不住，不妨进行一些整理。第1～5题大多数是两步计算的问题，少数题需要三步计算，虽然解题的难度不大，仍然要培养分析数量关系的习惯与能力。即利用已知数据之间的关系提出问题，挖掘解题资源；分析所求问题需要的条件，确定解题步骤。如，第1题的第（1）小题，买6件同样的短袖衬衫要510元，每件长袖衬衫比短袖衬衫贵42.5元。长袖衬衫的单价是多少元/件？如果从条件向问题推理，根据“买6件同样的短袖衬衫要510元”可以算出1件短袖衬衫要85元；根据“1件短袖衬衫85元”和“每件长袖衬衫比短袖衬衫贵42.5元”可以算出每件长袖衬衫要127.5元。如果从问题向条件推理，所求问题“长袖衬衫的单价的多少元/件”的数量关系式是“每件短袖衬衫的价钱+42.5”，应该先算出短袖衬衫的单价是多少元/件，求短袖衬衫单价需要的条件都已知，能够算出。第（2）小题，买6件同样的短袖衬衫要510元，如果用这些钱买长袖衬衫，就要少买2件。长袖衬衫的单价是多少元/件？这题的三个已知条件有交叉联系，根据“买6件同样的短袖衬衫要510元”能够算出短袖衬衫的单价85元；根据“6件短袖衬衫的钱买长袖衬衫，要少买2件”能够算出6件短袖衬衫的钱刚好买4件长袖衬衫。这道题里，短袖衬衫的单价对于求长袖衬衫的单价没有作用。于是，根据“510元买4件长袖衬衫”算出长袖衬衫的单价是127.5元/件。如果从问题出发，求长袖衬衫的单价，需要知道长袖衬衫的总价和数量。总价510元已经知道，数量需要计算。求买长袖衬衫数量的条件都具备，能够算出。从上面的分析可以想到两点：一是学生能够解题，却往往不能完整地说出自己的思路。这与分析数量关系过程中的思维跳跃有关，而完整地表述解题思路，有助于数学思维习惯和能力的形成。教学不能满足于学生会解题，得出了正确答案，要重视分析数量关系的过程及其表述，应该给学生相互交流解题思考的机会。二是如果题目中的已知条件之间有多重交叉的联系，那么由条件向问题的推理会出现分叉，有时会影响正确思路的形成。 条件之间的交叉联系，很可能形成题目的多种解法。如第5题，用表格给出一辆汽车的仪表盘显示的一组数据：
要回答的问题是“汽车油箱里有50升汽油，够行驶400千米吗？”这道题的解法很多。如果先求出行驶1千米的耗油量0.12升，能接着算出行驶400千米的耗油量48升，问题就解决了；如果先求出耗油1升能行驶电费25/3千米，能接着算出50升油行驶1250/3（416+2/3）千米，问题也解决了；如果从50升是4.8升的10倍多，推理出50升油行驶的路程是4.8升油行驶路程的10倍多，即400千米多，问题也解决了；如果从400千米是40千米的10倍，推理出400千米的耗油量是40千米耗油量的10倍，即4.8×10=48（升），问题也解决了。学生还可能想到其他解法。一旦学生能够充分挖掘和利用已知条件之间的联系，他们的思维就活跃了。发展学生思维的灵活性是数学教学的重要任务。 第6～14题属于一个板块，主要应用画图、列表、列举、转化、假设等策略解决问题。第8题，利用已知的三个条件，无法向所求问题推理。所求问题的数量关系，也无法向已知条件靠拢。如果在图中的番茄地里画出与黄瓜地完全相同的一块，剩下的一块长方形地就是180平方米。根据长方形的面积和长，能够算出宽（即番茄梯形地的下底长度）。这样，黄瓜地的面积（三角形面积）和番茄地的面积（梯形面积）就都能计算了。这题很典型地体现出“画图”能够解决问题，是解决问题的一种策略。第9题，杨大爷上午7时开始徒步锻炼。7:00—7:40走路，7:40—7:45休息；7:45—8:25走路，8:25—8:30休息；8:30—9:00走路。用表格或者画图，列举出杨大爷上午7时到9时的走路时间，按步行速度80米/分计算，就能算出一共步行的路程。这道题如果不采用枚举等策略，列式计算是很难的。第11—14题先假设、再替换（或调整），为了便于假设以后的替换（或调整），有时可以借助表格，有时可以依靠画图，体现了解决问题策略之间的互相支持、综合应用。 （四）“式与方程”复习用字母表示数和有关方程的初步知识，在小学数学与中学数学的衔接上有重要的作用。 这里的“式”主要指含有字母的式子，有两方面内容：一是用字母组成的式子表示形体的周长、面积和体积的计算公式，或者用字母组成的式子表示运算律。这些字母组成的式子相当于数学模型，能比较简明、抽象地表达了某些数学规律。二是用含有字母的式子表示常见的数量关系，具有鲜明的概括性和简约性特点。用字母表示数是教学方程必须具备的思想方法，能促进学生数学思维的发展。 复习用字母表示数，要让学生“举出一些用字母表示数的例子”。他们容易想到用字母表示求积公式、表示运算律，教材把这方面的内容安排在交流中回忆整理。用含有字母的式子表示常见数量关系，内容面广量大，不容易直接回忆与举例。教材安排“练习与实践”第1题进行复习。根据给定的数量关系和指定的字母，写出表示单价、数量和总价关系的式子，分别要求写出表示部分量与总数量关系的式子。复习用字母表示数，不仅要说出和写出一些含有字母的式子，还要对含有字母的式子作出比较具体的解释，体会字母表示数所具有的抽象性、概括性、简约性。 有关方程的知识比较多。首先是等式的含义、方程的意义，方程与等式的关系；接着是等式的性质和解方程；然后是列方程解决实际问题。教材在“整理与反思”里提出两组问题，引导学生复习方程的概念与解方程的方法。在“练习与实践”里编排了一些解方程和列方程解答的实际问题，通过解题，增强方程意识，提高解决问题的能力。 五年级教材里曾经指出“含有未知数的等式叫作方程”，从等式与方程关系的角度上揭示了方程的特征。方程都是等式，等式不都是方程，如果把所有的方程看作一个集合，把所有的等式也看成一个集合，那么方程集合是等式集合的子集合。“含有未知数的等式”只是方程的外在特点，不是方程的本质特征。学生理解方程的意义，还有待于接触更多的方程，学习更多的方程知识，才能体会方程是表达客观世界数量关系的数学模型。 小学数学中的方程是比较简单的方程，解方程可以利用四则运算各部分的关系，如一个加数＝和－另一个加数、减数＝被减数－差、被除数＝除数×商，也可以利用等式的性质，在方程等号的两边同时加上（或减、乘、除以）同样的不是0的数，逐步化简方程，直至得到方程的解。利用四则运算各部分关系解方程，也许在解比较简单的方程时相当方便，但不能适应中学数学解比较复杂方程的需要。教材编排用等式性质解方程，考虑了小学到中学的连贯性，是有长远眼光的安排。“练习与实践”里编排的解方程练习，应该提倡学生用等式性质求解。 列方程解决实际问题是“式与方程”的重要内容，能够提升学生数学思维的水平。列方程解题应按步骤进行，要帮助学生整理列方程解题的一般步骤，而且把重点放在寻找等量关系上。“练习与实践”第3题、第5题等，学生比较熟悉，以前都解答过。现在再次解答，要深刻体会“比一个数的几倍多几（或少几）”是相当常见的数量关系，写成数量关系式是“一个数×几±几＝另一个数”，可以作为列方程的等量关系；两个物体同时出发相对运动的数量关系也是列方程的依据，可以写成等量关系“一个物体的速度×时间＋另一个物体的速度×时间＝两个物体一共运动的路程”或者写成等量关系“（一个物体的速度＋另一个物体的速度）×时间＝两个物体的路程和”。结合解题，还应复习检验答案的方法，完整掌握列方程解题的一般步骤。 复习列方程解决实际问题，要深入体会什么样的问题适宜列方程解答，什么样的问题可以列算式解答。第4题十分典型地体现出，鞋的大小通常用“码”数或“厘米”数表示，它们的换算关系是b＝2a－10（b表示码数，a表示厘米数）。人们有时需要把码数换算成厘米数，有时需要把厘米数换算成码数。从数学的角度看，把码数换算成厘米数，是从已知的b求a；把厘米数换算成码数，是从已知的a求b。无论哪一种换算都要根据换算关系进行思考，如果已知a求b，一般列算式解答；如果已知b求a,一般列方程解答。这道题不把列算式与列方程两种解法相对立，而是有机融合于同一个数量关系。让学生进一步感受数量关系是解题的关键，选择列算式还是列方程解题，决定于已知数量和未知数量在数量关系式上的位置分布。当已知数量都集中在数量关系式的一边，未知数量单独处于数量关系式的另一边，算式就形成了；当未知数量与部分已知数量在数量关系式的一边，其他已知数量在数量关系式的另一边，列方程解题比较方便。教材希望学生按这样的思想方法解答其他几道题，先找到实际问题的数量关系式，再确定列方程解题。如，第7题的数量关系是： 原来价钱 - 原来价钱×10％ = 现在的价钱 ？ ？ 14.4 数量关系式的左边既有未知数，也有已知数。如果设原来价钱为x元，很容易列方程解题。又如，第8题的数量关系是： 甲衬衣原来价钱×40％ + 乙衬衣原来价钱×50％ = 108 ？ ？ 甲衬衣和乙衬衣原来价钱相同，求两种衬衣原来的价钱，应该列方程解答。 第9题在月历上框出四个数，是一次以字母表示数为内容的数学游戏。月历上的日期是按星期依次排列的，同一行上相邻两个日期相差1，同一列上相邻两个日期相差7。所以，用长方形在月历上横着框出四个数，如果左边第一个数是a，另外三个数依次是a＋1、a＋2、a＋3，四个数的和是4a＋6。用长方形在月历上竖着框出四个数，如果最上面一个数是a，另外三个数依次是a＋7、a＋14、a＋21，四个数的和是4a＋42。如果框出成“田”字形的四个数，左上角的数是a，另外三个数分别是a＋1、a＋7、a＋8，四个数的和是4a＋16。如果给出四个数的和，追溯是哪四个数，这就要解方程4a＋6＝□、4a＋42＝□或4a＋16＝□（□表示已知的和）。 (五)“正比例和反比例”先复习比和比例的知识，再复习正比例和反比例的概念。 比的知识在六年级上册教学，主要内容是比的意义和基本性质。教学要求是：学生能够写出比，理解比的意义，并且能准确地化简比和求比值。复习比的知识，可以先“举例说说什么是比，什么是比的基本性质”，回忆有关比的知识。然后解答“练习与实践”第1题，通过写出比和化简比，进一步内化比的知识，掌握有关的技能。这些回忆与解题，学生一般不会有多大的困难。 比、分数和除法是三个十分重要的数学知识，它们之间的相互关系是数学知识中的重要关系。教材要求学生把a:b（b≠0）改写成分数和除法，概括地体会比与分数、除法的内在联系。联系分数与除法，能更好地理解比和比值的意义；联系比和除法，能更好地理解分数的意义。而比的基本性质、分数的基本性质与除法商不变的规律之间的关系，又能促进比、分数、除法三个概念融为一体。学生在新授时已经了解这些关系，再次重温能够有更深刻、更清楚的认识，在以后的数学学习中经常会应用这些关系。 比例的知识主要有比例的意义、比例的性质、比例的实际应用。“练习与实践”第2题复习比例的意义，测量四张长方形照片的长和宽，分别写出每张照片长和宽的比，在这四个比中寻找能组成比例的比，体会比例表示两个比相等。判断两个比能不能组成比例，通常看这两个比的比值是不是相等。刚刚复习了比和比值的知识，立即应用到判断和组成比例上，比和比例的知识结构自然就形成了。应用比例的基本性质可以解比例，解比例的关键是把比例改写成“两个内项相乘等于两个外项相乘”的形式。教材通过第3题引导学生回忆比例的基本性质，掌握解比例的方法。按比例分配问题与比例尺的问题都是比和比例知识的实际应用，通过第5、6题进行复习。要让学生体会，解答这些问题都要应用转化策略，并掌握相应的转化思路与方法。解答按比例分配问题，通常从已知的比的具体含义出发，推理出各个部分分别占总数的几分之几，把按比例分配问题转化成求一个数的几分之几是多少的问题。 根据线段比例尺解答已知图上距离求实际距离的问题，通常从线段比例尺的意义出发，推理出图上1厘米表示多少实际距离，把求实际距离的问题转化为求一个数的几倍是多少的问题。要看到，学生解答这些题目并不困难，但不会主动体验解题中的数学思想与方法，教师的主导作用就在于利用解题，帮助学生体验基本且重要的数学思想。 正比例和反比例是本册教材的新授内容，学生一般不会遗忘。教材在“整理与反思”时提出问题“怎样判断两种量是否成正比例或反比例”，还要求“举出生活中成正比例或反比例的量的例子”。通过回忆知识和联系实际，继续体验正比例和反比例关系的本质特征。“练习与实践”里编排的判断题，学生都比较熟悉。教材希望他们在判断“成什么比例”的活动中，进一步理解成正比例关系的两种量的比值一定，成反比例关系的两种量的乘积一定。 秘如何学好小学数学 |
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