三角变换的常用方法

一、角的变换

根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，化异角为同角；化复角为单角，使已知角与结合角互相沟通。

例1. 已知，求的值。

分析：由于，所以，

得由有意义，则，相除得。

例2. 若，求的值。

分析：，所以，又，则，

所以且易得，，而原式代入化简得原式。

二、名的变换

即变不同函数名称为同名函数，通常是切割化弦或弦化切。

例3. 不查表求值

解：原式

例4. 已知，求的值。

分析：因为（否则），所以，即，

又。

，则原式。

三、幂的变换

对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，对化简根式问题应采用升幂的方法。

例5. 求函数的最大值和最小值。

分析：由于

（其中）易知y的最大值为，最小值为。

例6. 已知，化简。

分析：因为，所以，所以，

又原式

四、公式变形

运用三角公式或将三角公式变形后再运用可获简解，如

例7. 不查表求值。

分析：因为

，

所以原式

例8. 已知是方程的两根，求的值。

分析：由韦达定理知，

由如上变形公式得，所以。

五、常数代换

将常数值转化为三角函数值，有时能起到特殊的效果。

如等。

例9. 不查表求值的值。

解：原式

六、配方变形

根据给出式的结构，若平方项较多，用配方法可获佳解。

例10. 化简

分析：观察给出式的形式，采用配方法，原式

。

七、消元变形

考察题目的结构，如题设部分含有的角在结论中没有出现，可考虑用消元法。

例11. 已知锐角满足，求的值。

分析：由于，平方法消元消去，得，

所以，又、为锐角且，所以，所以。

八、平方变形

若给出二式是两单角形式，而欲求两角和或差，可考虑二式平方后相加（减）。

例12. 已知，求的值。

简解：因为        ①

                  ②

得，所以。

得，即

，将代入得。