作者，彭翕成，武汉 华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心 430079
有人说：“上帝是数学家，唯一能够描述宇宙的语言是数学！”
对于这句话，不管是学生，还是老师可能都不大相信。怎么用数学语言去描述宇宙？恐怕很难回答。在很多人看来，数学和自然的联系实在是不多。
著名数学家分形几何的创始人芒德勃罗说：“为什么几何学常常被说成是‘冷酷无情’和‘枯燥乏味’的？原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传播的……数学家不能回避这些大自然提出的问题 。”
从理论上来说，描绘物体图像只要先描出足够多的点，再用lagrange插值公式就能给出该图像的拟合公式。但实际操作起来还是会遇到一些问题。本文以超级画板为作图工具，用一些中学教学常见的函数拟合一个比较有意义的爱心图形。
提起爱心方程式，不得不让人联想到笛卡尔情书的故事。虽然笛卡尔的情书并不比牛顿的苹果更可靠，但笔者认为既然文学中有那么多才子佳人的故事，数学中为什么不能有呢？所以笔者还是将情书的故事转载如下。
解析几何的创始人笛卡尔在欧洲大陆爆发黑死病时，流浪到瑞典，认识了瑞典一个小公国18岁的公主克里斯汀，后来成为她的数学老师，日日相处使他们彼此产生爱慕之心，公主的父亲国王知道了后勃然大怒，下令将笛卡尔处死，后因女儿求情将其流放回法国，克里斯汀公主也被父亲软禁起来。
笛卡尔回法国后不久便染上重病，他日日给公主写信，因被国王拦截，克里斯汀一直没收到笛卡尔的信。笛卡尔在给克里斯汀寄出第十三封信后就气绝身亡了，这第十三封信内容只有短短的一个公式：
。
国王看不懂，觉得他们俩之间并不是总是说情话的，大发慈悲就把这封信交给一直闷闷不乐的克里斯汀，公主看到后，立即明了恋人的意图，她马上着手把方程的图形画出来（图1），看到图形，她开心极了，她知道恋人仍然爱着她，原来方程的图形是一颗心的形状。这也就是著名的“心形线”。国王死后，克里斯汀登基，立即派人在欧洲四处寻找心上人，无奈斯人已故，先她走一步了，徒留她孤零零在人间……据说这封另类情书保存在欧洲笛卡尔的纪念馆里。
图1
可断定上述故事是有人围绕心形线，将瑞典女王请笛卡尔讲学的事情改头换面虚构而成。笛卡尔的心形线太圆了，有点像苹果了，能否画得更像心形一点呢？
一：圆变心形
笔者猜测可以从圆出发，把圆上点的横坐标不变，纵坐标按照某种比例向上挤压一下。单位圆的方程是
，可变换成，再添加一项，则得到：，。这两个方程得到的是图2中y轴右边的图像。为什么要限制，而不是默认为，这是因为心形是对称图形，只要我们能够作出一半，利用对称就能得到另外一半。若急于求出，想一次攻破，恐怕不那么容易。
利用超级画板这一实验平台，我们可以马上将想法可视化。图2得到的就是当参数b取不同值的情形。
图2
我们可以作点小修改，譬如将方程改成和
，可得图3。
图3
笔者之前做过一个心形设计，与此函数作图是一致的。是将作两个正交的椭圆（图4），再选取其中部分填充颜色（图5），可得到一个漂亮的心形。
图4 图5
二：偶函数图形
探究至此，笔者突然想到：偶函数不就关于y轴对称么？于是上面的方程可简化为，，定义域就是默认的，这样上下两端函数就构成了一个心形。
基于偶函数的考虑，又在网络资料的启发下，笔者画出了下面的图形。
图6的方程式是，。
图7的方程式是，。
图6 图7
图8的方程式是，。
图9的方程式是，。
图8 图9
图10的方程式是，。
图11的方程式是，。
图10 图11
三：参数方程作图
下面这些参数方程作心形，都是笔者在网上找到的方程。不得不佩服原作者的创意。这么不常见的表达式，若不是妙手偶得，那必定是千锤百炼修改而成。可以肯定的是，借助于超级画板这种作图工具，可以省不少事。
图12的参数方程是，。
图13的参数方程是，。
图12 图13
图14的参数方程是，。
图15的参数方程是，。
图14 图15
图16的参数方程是，。
图17的参数方程是，。
图16 图17
图18的右半部分的参数方程是，，还需要作一次关于y轴的对称。
图18 图19
四：极坐标方程作图
由于心形是封闭环状，使用极坐标方程是很好的。但要想设计出下面这两个方程可不容易。
图19的参数方程是。
图20的参数方程是 。
图20 图21
五：心碎
爱情是美好的，失恋是痛苦的。数学家也有自己表示心碎的独特方式。如果你手头有作图工具，不妨试试这三个方程：，， 。
本文大多数方程式不是笔者原创，而是收集于国外一些数学网站。笔者相信这可作为数学教学的素材，起到激发学生数学的作用。关于用数学方程描绘其他事物，我们将另文介绍。
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