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我们在前面几个板块里都是介绍三角函数在代数和分析方面上的应用，事实上其在几何方面上的应用也是较为广泛的，在某些情况下利用三角函数来解决几何问题有意想不到的效果。我们知道，在笛卡尔未引入解析几何之前，人们研究几何问题的方法通常是纯粹的几何化方法。但是当解析几何进入几何学之后，我们便可以使用“坐标”体系来研究几何学问题。这在某种角度上，是一种思维上的飞跃。特别是，当我们把三角函数引入到几何学里，那么很多问题就可以得到了简化。  Figure1: 数学家笛卡尔 一.圆的参数方程我们知道圆的基本定义是在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线，其一般的方程为 其中为圆的圆心，为圆的半径长。在处理一些问题时，我们一般设出圆的一般方程就可以得到解决。但是，往往有些问题使用一般方程较为复杂，这时我们需要去寻求有无可能将圆的方程形式转变一下。我们知道圆的一般方程是在直角坐标系下建立起来的，因此我们为了转变方程形式，有必要对坐标系进行转变，这时是引入极坐标系的时候了。 在极坐标下，我们仅仅用两个变量来描述一个点，即极径和极角。并且，我们考虑了直角坐标系与极坐标系之间的坐标转化关系，得出如下结果: 在这样的情况下，平面直角坐标系上的单位圆在极坐标系下方程为 这是因为，在平面直角坐标系下单位圆的方程为。所以有 那么我们考虑一般的圆方程时，也可以如法炮制，先令 所以圆的参数方程为 实际上,在数学分析里,求积分区域为圆形的二重积分问题中,极坐标代换方法显得十分有力。 二.椭圆的参数方程与圆相类比，椭圆也是平面几何图形中较为重要的几何对象。我们知道椭圆是圆锥曲线的一种，是通过平面与圆锥相截而得到的。关于椭圆的基本定义，我们在此不再详述，仅仅只考虑椭圆的标准方程。有关于椭圆的标准方程，一般有两种，取决于焦点在哪一个坐标轴，为了能够说明问题，我们在此以焦点在 轴为例，对于另一种情况读者也可以自己尝试探究。 当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为 与之前探究方式一致，椭圆的标准方程也是建立在笛卡尔的平面直角坐标系下的。因此要想用三角函数形式来表示，需要转变坐标系，将椭圆放在极坐标系下考虑。因为自身标准方程具有极大的特殊性，即方程右边为1，方程左边为两个平方和的形式。据此，我们可以令 所以不难得到椭圆的参数方程为 稍作总结一下圆和椭圆的参数方程，不难发现它们都与角的正余弦有关系。事实上，除了平面几何中的圆与椭圆可以用三角函数来表示之外，还有很多几何对象也可以用三角函数形式来表示，诸如摆线、双纽线等。当然，在立体几何中一些几何对象方程也可以用一个角或多个角的三角函数来表示，诸如球等，在此不再做详细说明，感兴趣的读者可以参考"解析几何"方面的教程，如陈跃老师所主编的《高等代数与解析几何》、复旦大学黄宣国老师的《空间解析几何》等。 前段时间有部网剧《隐秘的角落》火爆朋友圈，特别是数学大佬朱朝阳的个人经历更让人匪夷所思。该部网剧中有一幕出现了笛卡尔心形线，乃是道貌岸然的张东升在黑板上所画的图。  Figure2: 《隐秘的角落》剧照 这里面其中一个明显的错误便是： 并非是一个函数，而只是一个椭圆方程。注意到针对函数来说只能“多对一"，而不能“一对多”。如果你选取的部分，那么此时因变量y的确是自变量x的函数。 再者，笛卡尔心形线也画错了! 方程与函数之间相爱相杀，非三言两语可道尽其中奥秘! [1]勒内·笛卡尔（Rene Descartes，公元1596年3月31日—公元1650年2月11日），出生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷拉海（现改名为笛卡尔以纪念），逝世于瑞典斯德哥尔摩，法国著名哲学家、物理学家、数学家、神学家。笛卡尔是法国著名的哲学家、物理学家、数学家、神学家，他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。 [2]极坐标系：在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任何一点M，用 表示线段OM的长度（有时也用r表示），表示从Ox到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。 直线与方程&圆与方程习题1.直线经过点,且与直线垂直,求直线的方程.(Hint:) 试试看，你脑中所保存的高一数学知识还剩下多少??? |
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