高中数学：有关参数范围与定值问题

由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带．而这些特征正是解析几何的实质，所以考试经常在向量与解析几何知识的交汇处设计试题．平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题．

一、运用向量共线的充要条件

例1　已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，与共线．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设为椭圆上任意一点，且，证明为定值．

（1）解：设椭圆方程为，，

则直线的方程为，代入，

化简，得．

令、，则，．

由，，与共线，得，

又，，∴，

∴，即，

∴，∴．

故离心率；

（2）证明：由（1）知，所以椭圆方程可化为．

设，由已知，得，

∴

∵在椭圆上，

∴．（※）

由（1），知，，，

．

．

又，，代入※式，得．

故为定值，定值为1．

二、运用向量的数量积

例2　已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且（其中为原点），求的取值范围．

解：（1）设双曲线方程为．

由已知，得，，再由，得．

故双曲线的方程为；

（2）将代入，得．

由直线与双曲线交于不同的两点，得

即且．①

设、，则，，

由，得，

而

．

于是，即，解此不等式得．②

由①、②，得．

故的取值范围为．

从上述两例可以看出，只要对于解析几何中图形的位置关系和数量关系进行认真分析，充分挖掘问题的本质，灵活运用平面向量综合知识，就完全有可能使问题得到解决！

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