数学破题36计第31计 解几开门 轨迹遥控

第31计 解几开门 轨迹遥控

●计名释义

求动点的轨迹图形及轨迹方程是解析几何中的核心，体现了用代数方法研究几何问题的数学思想.轨迹是解析几何的灵魂，它就象一个遥控器，指挥着我们行动的方向.由方程研究曲线和已知曲线求其方程是解析几何的两大研究方向，在图形与方程问题遇到困难的人，往往疏忽了“轨迹”二字.正是“轨迹”二字告诉了动点的性质，动点的性质才是图形性质和方程性质的根基.

●典例示范

【例1】   动椭圆过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率e=.  (1)求动椭圆左顶点的轨迹方程；（2）求椭圆长轴长的最大值和最小值.

【思考】   如M（1，2）为右顶点，则左顶点为P（1-2a,2）.椭圆中心为(1-a,2)，左准线为y轴.∴-a=0，而e=.  ∴=2，有-3a+1=0，a=.  得点P₁(,2)；如M（1，2）为左顶点，有P₂（1，2），∴P₁P₂中点为（，2）.

由以上可以预见,所求轨迹是中心为O′(,2)的椭圆.

【解答】   （1）设椭圆左顶点为M(x,y)，则左焦点为F（x₀，y₀）=F(x+a-c，y)，

∵e=，且左准线为y轴,                       ∴=0,

得a=x，c==，有：F，由椭圆第二定义：= e=.

∴  ，化简得：              ①

(2)椭圆①的长半轴a′=，∴-≤x-≤，得x∈.

原椭圆长半轴为a=x，∴2a=2x∈.故原椭圆长轴最大值为2，最小值为.

【例2】   已知双曲线的两个焦点分别为F₁，F₂，其中F₁又是抛物线y²=4x的焦点，点A（-1，2），B（3，2）在双曲线上，（1）求点F₂的轨迹方程；（2）是否存在直线y=x+m与点F₂的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m的值，不存在，说明理由.

【思考】   F₁（1，0）为定点，∴|AF₁|=2=|BF₁|为定值，设F₂(x，y)，则|F₂A|-2=±(F₂B-2).得|F₂A|=|F₂B|或|F₂A|+|F₂B|= 4，知动点F₂的轨迹为直线AB的垂直平分线或以A、B为焦点的椭圆.

【解答】   （1）点F₂的轨迹方程为直线l：x=1或椭圆.(不含短轴两端，即不含（1，0），（1，4）解法略).

（2）如图，当椭圆与直线y=x+m相切时，直线与所求轨迹恰有两交点（-为切点，另-为切线与直线x=1的交点），其他情况下，若直线y=x+m过椭圆短轴端点时与所求轨迹仅有一个公共点，若不过短轴两端点而经过椭圆内部时则有三个公共点，由

∴3x²+(4m-10)x+2m²-8m+1=0.

此方程应有相等二实根，

∴Δ=(4m-10)²-12(2m²-8m+1)=0.

化简得：m²-2m-11=0,∴m=1±2.

【小结】   探求轨迹，一要注意

其完备性也就是充分性：只要符合

条件的点都适合轨迹方程；二要

注意其纯粹性也就是必要性：只要

适合轨迹方程的点都符合轨迹条件.                         例3题图

以例2为例：若忽视了直线x=1(不含（1，0），（4，0）)则不完备，若不除去（1，0），（4，0）则又不纯粹.

●对应训练

1.已知双曲线过坐标原点O，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F₁（6,0），另一个焦点F₂为动点.

(1)求双曲线中心的轨迹方程;

(2)双曲线离心率最大时，求双曲线方程.

2.已知定直线l和线外一定点O，Q为直线l上一动点，△OQP为正三角形（按逆时针方向转），求点P的轨迹方程.

3.已知双曲线过坐标原点O，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F₁（6，0），另一个焦点F₂为动点.(1)求双曲线中心的轨迹方程；（2）双曲线离心率最大时，求双曲线方程.

4.已知抛物线C：y²=4x，(1)若椭圆左焦点及相应准线与抛物线C的焦点及相应准线分别重合.(1)求椭圆短轴端点B与焦点F所连线段的中点P的轨迹方程；（2）若M（m,0）是x轴上的一个定点，Q是（1）中所求轨迹上任意一点，求|MQ|的最小值.

●参考答案

1.设F₂(x₀，y₀),  ∵O(0,0)在双曲线上,

∴|OF₂| - |OF₁| =±2，|OF₁|=6,

∴|OF₂|=6±2，如|OF₂|=8，则x²₀+y²₀=64       ①如|OF₂|=4，则x²₀+y²₀=16        ②

当O、F₁、F₂共线时，F₁、F₂应在点O两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0）设双曲线中心为M（x，y）,则

                      ③

③代入①：(2x-6)²+(2y)²=64，           即(x-3)²+y²=16(x≠7)

③代入②：（2x-6²+(2y)²=16，           即(x-3)²+y²=4(x≠5)

(2)∵a=1，∴e== c，且c=|MF₁|=,

如M的轨迹为(x-3)²+y²=16，         则c=

∵-4≤x-3<4，∴-1≤x<7

当x=-1时，c_max=7.

如M的轨迹为(x-3)²+y²=4，则

∵-2≤x-3<2，∴1≤x<5，当x=1时，c_max=5,

于是取c=7，a=1，∴b²=48，又当x=-1时，由（x-3）²+y²=16，得y=0,即双曲线中心为(-1,0),一个焦点为F₁(6,0),故实轴在x轴上，则所求方程为：(x+1)²-=1.

2.如图作OA⊥l于A，以直线OA为x轴，

过O且垂直于OA的直线为y轴建立

如图的直角坐标系，设A（a,0），则有

直线l：x=a，设|OQ|=|OP|=d

∠AOQ=θ，则∠AOP=θ+

设P(x,y)，∵d=，

∴x= d cos (θ+)=(cosθ-sinθ)               第2题解图

=(1-tanθ),

y=dsin(θ+)=(sinθ+cosθ)= (tanθ+).

于是得点P的参数方程：（θ为参数）   消去参数得：x+y=2a.

3.(1)设F₂(x₀，y₀)，∵O (0,0)在双曲线上，∴|OF₂| - |OF₁|=±2，|OF₁|=6，∴|OF₂|=6±2，如|OF₂|=8，则x²₀+y²₀=64   ①；如|OF₂|=4，则x²₀+y²₀=16   ②，当O，F₁，F₂共线时，F₁，F₂应在点O两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0）.

设双曲线中心为O′(x，y)，则           ③

③代入①：(2x-6)²+(2y)²=64,              即  (x-3)²+y²=16   (x≠7).

③代入②：(2x-6)²+(2y)²=16,                即  (x-3)²+y²=4   (x≠5).

(2)∵a=1，∴e== c，且c=|MF₁|=,

如M的轨迹为（x-3）²+y²=16,

则c=.

∵-4≤x-3<4,       ∴  -1≤x<7,

当x= -1时，c_max =7.

如M的轨迹为(x-3)²+y²=4，则c=.

∵-2≤x-3<2，∴1≤x<5当x=1时，c_max =5.

于是取c=7，a=1.  ∴b²=48，又当x= -1时，由(x-3)²+y²=16，得y=0，即双曲线中心为（-1，0），一个焦点为F₁（6，0），故实轴在x轴上，则所求方程为：(x+1)²=1.

4.（1）如图设椭圆中心为O′(x0,0)，

由于左焦点F（1，0），左准线x= -1，

∴x₀=c+1，且x₀+1=.

∴a²=c(x₀-1)=x²₀-1，

b²=a²-c²=(x²₀-1) - (x₀-1)²=2x₀-2，

得椭圆短轴端点B（x₀，）.              第4（1）题解图

设FB的中点为P(x，y)，则：

         消去x₀：y²=x-1(x≥1).

(2)曲线y²=x-1(x≥1)的图形如图中虚线所示，其顶点为F（1，0）.

显然当m≤1时，|MQ| _min=1-m，即点M（m,0）到抛物线顶点F最近，当m>1时，以M（m,0）为圆心，R为半径的圆的方程为：(x-m)²+y²=R².(*)

由x²+(1-2m)x+m²-1-R²=0.

命Δ≥0，即（1-2m）²-4(m²-1-R²)=0,             ∴R²≤.          (1)

当m≥时，R _min=，              即|MQ|的最小值为.

当1<m<时，不等式（1）无解，说明圆（*）与抛物线y²=x-1不可能有交点，此时抛物线顶点与M距离最近,即|MQ| _min=m-1.

注：此题选自陕西师大“中学数学教学参考”04·1～2期P72，63题，原题答案为：

当≤1，即m≤时，|MQ|无最小值；当>1，即m>时，|MQ| _min=.笔者以为不妥，故重解如上，不当之处，请各位同仁指正.