草根对于一道普通比例线段问题认识的十多年来的反思、变迁

问题

已知，如图，在△ABC中，AD:DC=1:2，BE:EC=3:2，求BF:DF

（注：本题有“梅涅劳斯”、面积法等其他方法，今天在此仅谈论添加“平行线”的通法）

第一阶段 十多年前

在课堂上我鼓励学生积极发言，争取添加出尽可能多的辅助线，一般一节课学生可能提出十多条辅助线，在学生提出的辅助线中组织学生从“该辅助线能否解决这个问题”、“添置该辅助线的后续计算是否便捷？”两方面进行评价、总结，集体研讨出以下基本结论：

① 一般添加的是“平行线”；

② 通过添加“平行线”构造出基本型；

③ 希望所添加的“平行线”不要“破坏”条件与结论

教学效果反思

课堂非常热闹，学生参与度极高，我自己也受此感染，心情愉悦。然而，课后学生作业并不理想，部分学生反映：“上课看同学怎么加平行线都成，自己怎么加都不成！”

反思：表面的热闹掩盖了对于解题方法指导的不足，其实连我自己都不明晰：怎么填平行线一定是可行的。

第二阶段 五、六年前

当我又一次大循环教到初三，我自己研究出了一套解决该类问题的“必杀技”！

步骤一

排除“装饰性”线段（撤去该线段，不影响解题）

步骤二

此时图形中有四条完整线段，其中涉及“条件”的是线段AC、BC，涉及“结论”的是线段BD（称为“有关线段”），线段AE是与“条件和结论无关”的线段（称为“无关线段”），观察C、D、B三点，它们在有关线段上且不在无关线段上，过这些点之一做平行线与无关线段（或所在直线）相交且不与有关线段（或所在直线）相交（如图）即可．

步骤三

教学效果反思

还是让学生先讨论，然后以我提炼的解法总结，课后做类似的习题，由于有了“必杀技”，大多学生遵循我所给出的解题策略，都顺利解决了问题，大大提升了教学效果。

反思：

① 没有解释清为什么此处添加的是“平行线”？

② 什么叫做“装饰性”线段？如何在进一步复杂的图形中判别什么是，什么不是“装饰性”线段？

换言之，我找到了这个阶段，处理这类问题的一般方法，然后如果将该问题处于综合问题、复杂图形之中，学生依旧有一定的困难。

第三阶段 近期

近期，我学习了《基本图形法（徐方瞿著）》一书，得以重新反思这类问题的通法…

01

描图

本题的条件是“AD:DC”、“BE:EC”，所求是“BF:DF”，通过描图，相比线段叠合在同一直线上（应用条件），则添加“平行线”（应用方法）

02

如何添加平行线？

以线段AC为例，点A、C是端点，点D是内分点，以端点或内分点为起点，以经过另两个点的线段为方向，添加平行线，皆可行。

过点A做DB的平行线

过点A做BC的平行线

过点C做DB的平行线

过点C做AE的平行线

过点D做AE的平行线

过点D做BC的平行线

教学效果反思

通过一条线段两个端点一个分点可以做6条平行线，那么三条线段就有18种添加平行线的方法，把什么时候需要添加平行线？怎样添加平行线？到底有多少种添加平行线的方法？都一一将明白了，如果说我的第一阶段是没有策略，第二阶段是个人经验性策略，而这第三阶段就是具备一定科学性的策略！

反思：方法虽多，哪种方法更为合理？需要进一步阐述，因为学生并不需要掌握这么多种方法，需要的是一种最有效的方法。

其次，如何教给学生也是值得思考的问题，教师拥有的研究成果终究是教师自己的，如何引导学生自己经历这种探究的过程，自己有所发现，对于学生受益才最大。

我不知道将来对于这个问题是否有进一步更加深入的认识，但每次对于这个问题获得新认识的那一刻都会给我带来一种由衷的喜悦，我也很享受对于教学与数学问题不断学习、探究的过程…