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同样的老师上课、上同样的课程、做同样的题，为什么成绩大相径庭、成绩大不一样？ 因为不同的学生思考的深度不一样：差生不思考，中等生浅思考，优生深思考。 解题训练是巩固知识、形成能力的必要过程，解题训练是发展思维、提升创造力的重要途径，解题的方法和习惯对学习效率、学习成绩有决定性的作用。 笛卡尔说：“我所解决的每一个问题都将成为一个范例，以用于解其他问题。”高手的脑子里有一整套解决各类问题的方法系统，需要时从中提取即可。而菜鸟的脑中只有残缺不全杂乱无章的模糊经验，他们解决问题是偶然的、随机的，就像摸奖一样靠感觉和运气。 我们用禅宗的三个境界来类比解题的不同层次： 一、具体经验阶段：见山是山，见水是水。此时只是远观山水之形貌，横看成岭侧成峰，远近高低各不同，虽看见山水，并未识其真正面目。 这阶段学生做题时不明白所涉知识的实质，就题而论题，机械模仿，思路单一。 二、解构分析阶段：山不是山，水不是水。此时深入山水之间，见到山的脉络走势，水的源头流向，树木花草，飞鸟游鱼，尽览心中。山本不是山，只是土石草木的组合而已。水本不是水，只是地势高低不同积流而成。 这阶段学生能够分析问题与知识间的内在联系，对问题的结构有了更深层次的认识，对解题方法进行抽象和提炼，发现解题的规则、原理和程序，举一反三，触类旁通，熟练解决同类问题。 三、融合贯通阶段：山仍是山，水仍是水。此时跳出山水，高处观山水，则山水在天地之间的位置，整体的分布特点，形成的历史，发展的趋势，都了然于胸。 本阶段学生能把解决问题的知识、方法、思想、策略融入到认知体系之中，与其他知识进行联结、融合，形成通畅的、严密的、整体的认知结构。换句话说，学生的认知体系在不断地生长，思维能力不断得到完善。 所以，学生之间的差距往往不是智商的差距，而是处理信息的方式不同。一种方式是成长型的，不断积累进化，如同树木，每一年都留下清晰的年轮，根越扎越深，高度一直在增加。另一种方式是停滞型的，一直原地转圈，如同一岁一枯荣的小草，虽年年生长，但根系永远那么浅，高度永远没有增加。显然时间越长，小草与大树的差距越大！ 我们都希望孩子像大树一样，拥有持续生长的能力，那么作为老师或家长该如何加以干预引导？当然是从好的问题的开始！ 一、设计好的问题 1.开始阶段，问题以系列题组的形式呈现，有梯度，有变式，有引申，有拓展，探索问题的具体关系及所用知识，概括揭示解决问题的思想方法及一般策略。 2.中间阶段，把问题系列的跨度不断加大，提示性内容逐步减少，给学生更广的思维空间，从而使学生的思维量增大，探索意识增强，逐渐养成深入思考的习惯。 3.最后阶段，学生的思考深度和思维能力达到一定程度，可以用一个典型问题让学生完成系列动作，主动完成对问题的分析解构、变化拓展及认知体系的融合贯通。 系列题组设计方法如下例： 本题（1）（2）（3）小题的形式和具体做法相似度很高，（4）（5）（6）（7）形式上有了较大的变化，但不变的是都使用了分式（数）的加法运算的逆向变形，都有共同的解题策略：化繁为简、逆向思考，都运用了同样的基本方法：一分为二、正负相消。后面使用的方法是前面的变式、拓展、推广，发现它们的共同点正是抽象思维能力的增强。 二、保持对的姿势 1.具体化：根据问题的具体关系寻找解题方法，尽量一题多解。注意必须先理解分析问题的实质，不要直接搬用记忆中现成的套路或方法，不要形成单一的思维定势。 2.程序化：总结此题解决的具体方法步骤。最好写在纸上，用图表、符号、文字进行视觉化呈现。 3.动态化：用动态的眼光看待问题，问题中的某些条件是可变的，但问题的整体架构不变，解题的思路方法不变。当学生能对问题进行变式拓展时，就可以在更深层次上把握问题的本质，得到更一般化的规则，收获自然非同一般。 4.抽象化：把问题结构一般化，解题方法一般化，概括抽象出同类问题的常用思路步骤和思考策略。抽象的程度有高有低，不同的能力可以达到不同层次的抽象。 5.结构化：当前的解题程序、方法、策略与脑中已有的系统相联结，在认知体系中进行添加、融合、优化。 上面的动作过程不一定按顺序进行，有时需要反复进行尝试、操作、思考、变式、概括。 以下例说明： 第1步，具体化：分析条件，原图形无法找到角的联系，当然要作辅助线啦，如下图，具体解题步骤略去。 一定不能满足，从这里挖下去，金矿就在里面！ 第2步，程序化：（1）构造平行线的截线；（2）找出同旁内角关系；（3）找出多边形内外角关系；（4）等量代换并整理数量关系式。 由（1）联想：是不是任意构造一条截线都可以呢？移动截线位置如下： 判断下面的方法是否可行： 通过尝试、思考、发现：图⑦、⑧含有凹多边形，不在我们所研究范围；图⑥、⑨可解但因图形复杂，所以解题过程比较繁琐。比较、分析、优化：图②、④较简单，原因是②中涉及角度全部为问题所求的相关角，④中所求三个角都包含在一个多边形中，其它方法都使用了相对较多的辅助角。 再深入思考：作截线的目的是什么？自然是为了构造平行线所形成的相关角（同位角、内错角、同旁内角），从而能够充分利用平行线这一重要条件。构造这些相关角的方法还有吗？尝试发现过点P作AC、或BD的平行线同样可以构造出与平行线相关的角。如下图两种方法仍然可以得解。 别着急，妙事还在后面！ 第3步，动态化： P点的位置可以动吗？尝试画图如下： 用前面的思路与方法能解决吗？试试看，好神奇哦，刚才的方法竟然都可以套用。虽然结论稍有不同，但思路方法完全一样！ 继续深入，P点位置不同引起了数量关系的变化，那么P点的位置分类依据是什么？ 可以看出，P点的位置是按直线AB、AC、BD所分割的6个区域分类的！特殊位置（如P点在AC上，∠PAC＝0）相邻2个区域的数量关系都适用。 还能再变吗？如下左图，改变射线AC的方向；如下右图，增加P点的个数，2个点，3个点，n个点。真是一生二，二生三，三生万物，其妙无穷！ 第4步，抽象化： 概括思路：（1）作截线或平行线构造出与平行线相关的角；（2）由平行线性质及多边形内外角定理得到角的关系；（3）等量代换转化掉无关的角得数量关系式。 概括策略：（1）相关数量无关联系时需作辅助线；（2）辅助线作法从条件联想；（3）辅助线必须有助于条件及相关定理的利用；（4）辅助要能够使所求数量产生直接或间接的联系。 第5步，结构化：以往有关角度的问题多是数值固定的、直接计算的、关系明显的，现在要加入动态数量关系的问题，解决方法不是一目了然，需要有作辅助线、用辅助角的意识，需要把几个关系式加以综合，用等量代换进行关系式的变形重组。 用以上方法解题，虽然花费了较多时间，但思考质量非常高，能以一敌百，一通百通，思维能力得到最大化的提升。 学习需要正确的方法，还需要执着的精神，千万别怕麻烦。现在躲避麻烦，将来大麻烦，现在处理麻烦，将来没麻烦！ 生长式学习，做一题，会一法，悟一理，通一类！ |
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