第3期利用三视图确定正方体的个数

三

规则：主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等

即：

主视图和俯视图的长要相等

主视图和左视图的高要相等

   左视图和俯视图的宽要相等。

应用

如图表示某个由小正方体搭成的几何体的俯视图，俯视图无法表示该几何体的高度，用3代表右上角这个位置有3个立方体。用2表示左上角这个位置有2个立方体，1表示右下角这个位置有1个立方体，此时，我们不但可以轻易地画出该几何体的其它两个视图，也可以得知该物体一共由1 2 3=6个小正方体组成.

借助俯视图的这个功能，我们在确定一个几何体由多少个小正方体组成的时候，可以先画出俯视图，再根据主视图与左视图，确定俯视图各位置上的立方体的个数，从而快速找出正方体的个数.

例1

如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形的三视图，那么构成这个立体图形的小正方体有_______个

解析

第一步：从俯视图入手，结合主视图，从正面看过去，也就是从如下图的箭头方向看过去，可以确定的是俯视图最右侧只有一层，标上数字1，左边这列最高有两层，具体数目还不能确定

第二步：结合左视图，从箭头方向看过去，右侧有两个一层的，所以马上可以确定如图两个位置的数量.

由于左视图的最左侧最高有2个，所以，沿箭头方向看过去最左侧最高有2个，所以，俯视图的空白处应填2，如图，所以，一共有2 1 1 1=5个正方体.

点拨：

此立体图形的三视图都已知，所以俯视图结合主视图和左视图，容易明确个位置上的正方体的个数.

例2

一个几何体由若干个大小相等的小立方体组成，下面分别是此几何体的主视图，和俯视图，该几何体至少是用错少个小立方块搭成的.

解析

此题已经存在俯视图，还是从俯视图出发考虑，因为主视图已经确定，如蓝色所示，右侧两个位置最高只有一个，所以填写数字1.

而最左侧最高有两个，因为是最少是多少个，所以左侧三个位置，只要有一个位置是2个，其余都是1个即可，如图，有下面三种可能

总数都为2 2 2=6个.

此时顺便还可以求出最多有多少个.

如图，只需要左侧最高都是2个即可，所以，最多有2 2 2 1 1=8个.

点拨：

此题已知主视图与俯视图，可利用主视图在俯视图的基础上填写添加数字，但由于左视图不确定，所以，可能有多种情况.

例3

如图，一个几何体是由若干个小正方体堆积而成的，主视、左视图如下，要摆成这样的图形，至少需要多少块小正方形，最多需要多少块小正方体.

解析

此题没有俯视图，不妨尝试去画出俯视图，

主视图和俯视图的长要相等

左视图和俯视图的宽要相等.

已知俯视图的长和和宽也不一定能完全确定俯视图的形状，但是可以确定俯视图最大可能是什么

由题意，俯视图最大可能是

首先算出几何体最多可能是多少个，再次基础上，减少正方体的个数，在主视图和左视图不变的前提下，看最少能剩下几个.

结合主视图，从前面看俯视图，右侧两个最高是1，所以可以确定右侧两列的最多全是1

结合左视图，从左边看俯视图，最上面行和最下面的行最高都是2，

如图.最后确定左视图中间的，最高为1 .

此时我们得出的小正方体最多可能是2 2 1 1 1 1 1 1 1=11个.

如图，减少4个，不影响主视图

再减少1个，不影响左视图

不能再减少了，所以，此时的数量2 2 1 1=6即是最少需要的正方体个数.

点拨：

此题已知主视图与左视图，但是不知道俯视图，利用投影的原则，主视图和俯视图的长要相等，左视图和俯视图的宽要相等.尝试画出俯视图的最大可能，首先确定出几何体的最多可能的正方体的个数，在此基础上减少正方体的个数，但不改变主视图与俯视图，到最后不能再减少时，即可确定最少的可能的个数.

《义务教育数学课程标准》指出，在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识.

空间观念

主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等.

几何直观

主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.

利用三视图确定正方体的个数这种类型的题目，想象物体的方位与相互之间的关系，很好地发展了学生的空间观念，探索，预测正方体的个数，发展了学生的几何直观，也很好地发展了学生的空间思维能力.

小试牛刀

有一个几何体的主视图和左视图完全相同，如图所示，则搭建一个这样的几何体至少需要____个小正方体，最多需要_____个小正方体.

参考答案：4个，10个