二次函数

二次函数

1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

2.二次函数的性质

(1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.(2)函数的图像与的符号关系.

①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点

3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.

4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①；②；③；④；⑤.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①决定抛物线的开口方向：

当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

(1)公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.

(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★

9.抛物线中，的作用

(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故：

①时，对称轴为轴；②(即、同号)时,对称轴在轴左侧；

③(即、异号)时,对称轴在轴右侧.

(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.

当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：

①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式	开口方向	对称轴	顶点坐标
	当时 开口向上 当时 开口向下	(轴)	(0,0)
		(轴)	(0, )
			(,0)
			(,)
			()

11.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(3)交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.

12.直线与抛物线的交点

(1)轴与抛物线得交点为()

(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).

(3)抛物线与轴的交点

二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程

的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点抛物线与轴相交；

②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；

③没有交点抛物线与轴相离.

(4)平行于轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.

(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组

的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时与有两个交点;

②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.

(6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故 

13．二次函数与一元二次方程的关系：

(1)一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况．

(2)二次函数的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程的根．

(3)当二次函数的图象与轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与轴有一个交点时，则一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根

14.二次函数的应用：

(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；

(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；

运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．

15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展。