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一道妙题，讲尽三角恒等变换的春夏秋冬！ （作者：齐龙新） 高三复习，精讲精练，已经成了大家的共识，选取好题是精讲精练的必要基础，题目如果选择得当，对于复习效率的提高会有巨大的促进作用。但是选取“好题”是需要破费一番功夫的，需要从典型性、覆盖性、发散性等多方面加以考虑。在三角恒等变换复习中，本节课我仅用了一道题目，就把相关的所有知识与方法都复习了一遍。在次提出，与大家分享。课堂开始我就提出了下面的问题： 问题：你能从不同角度用多种方法求下式的值吗？ 预备讲解你的思路，讲解时重点说清以下三个方面： （1）从哪里开始变？ （2）用了什么变换工具？ （3）最终变成了什么？ 为什么设置这个问题呢？ 这虽然也是一道很普通的题目，可能大部分同学在高一时也做过，但它却承载着非常丰富的三角变换知识和方法，解决这道题目，几乎可以用遍所有三角变换公式（和差角正余弦、正切公式，二倍角公式，是和差化积（课堂不讲，但提示数学自主招生考试可能会用到，有兴趣的课下研究）公式，同角三角函数基本关系，诱导公式），辅助角公式。它包含了三角变换的几乎全部思路（化角、化名、化结构），包括所有常用技巧（1的应用，平方，角的配凑，公式逆用），以及很多很多常用特殊角。这对训练学生思维，复习和内化公式的作用很有好处，对学生灵活掌握公式，建构知识体系，形成综合能力大有裨益。综上原因，我选择了这道题目，并设置了三个渐进式问题，对同学们的发言方向有指导性作用。 然后我先让学生自己做，在做的过程中我开始巡视，在巡视中我就像“寻宝者”一样，几乎每走一步都能发现学生有新的解法，新的创意频频出现。每看到新的解法，我马上让该同学上黑板上板书。这样一来就出现了下面一些解法： 以上5种解法完成后，我让每位上讲台的同学逐个讲了自己的“从哪里开始变？”、“用了什么变换工具？”、“最终变成了什么？”。这几个问题回答完毕，那么“From?”“Where？”“How?”就解决了，用不着我这当老师的再费口舌。 另外,我还提示到，本题还可以用和差化积来解决，和差化积课本上没要求，有兴趣的同学可以自己课下研究。这就是解法6 当以上问题结束后，突然又有一个李同学举手。他表达完意见后，我们发现他用的并不是三角恒等变换的方法，而是采用的几何构造，在15°角上作的文章。解法如下： 解法7：先构造一个30度的直角三角形，在此基础上再构造一个15度的等腰三角形 如图即可求出15度的正余弦。 这种构造方法何有创造性，把代数问题通过几何构造的方式来完成，很有新意。 以上解法结束后，突然还有个学生提议在单位圆中再利用正余弦的几何意义研究一下，于是有了解法8。 在单位圆中作出15度角如图所示。过P作x轴的垂线垂足为E,则PE=sin15度;，OE=cos15度;。下面需要构造出这两个线段的和与差。 过点P以PE为基础向顺时针和逆时针两个方向分别作45°角。 易知OA=cos15度;-sin15度;，OB= cos15度;+sin15度;. 只要求出OA/OB即可。 在△POD中，易知∠POD=30度;，因为OP=1,
以上8种解法，已经把三角恒等变换几乎“一网打尽”！即考察了所有的三角恒等变换的知识与方法，又培养了数形结合的几何构造能力。如果学生能完整经历这8个方法的思考过程，那么其数学素养的提高肯定是毋庸置疑的。 说明：本题还可以用复数来解决，将来到复数的复习中，我还会再次把它拿出来使用，也就是本题的解法9。 解法9：复数方法（略） |
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