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一、角平分线的性质与判定 1、定义：如图2-1，如果∠AOB＝∠BOC，那么∠AOC=2∠AOB=2∠BOC，像OB这样，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的角平分线． 2、角平分线的性质定理 ①如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角， ②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 3、角平分线的判定定理 ①在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线， ②在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上， 二、与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型， 已知P是∠MON平分线上一点， 1、若PA⊥OM于点A，如图(a)，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”． 2、若点A是射线OM上任意一点，如图(b)，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”． 3、若AP⊥OP于点P，如图(c)，可以延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”． 4、若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图(d)，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线 平行线，等腰三角形必呈现”． 一、连接两点 二、截取线段（取点）
三、延长线段
四、作角平分线
已知：如图，△ABC中，AB=AC,在AB上取一点D，在AC的延长线上取一点E,联结DE交BC于点F,若F是DE的中点。求证：BD=CE
分析：有中点条件出现，可考虑作平行线(形内添辅助线)，构造全等三角形
方法一：解：过点D作DG//AC,交BC于点G∴∠DGB=∠ACB（两直线平行，同位角相等） ∠DGF=∠FCE（两直线平行，内错角相等）∵AB=AC （已知）∴∠B=∠ACB（等边对等角）∴∠B=∠DGB （等量代换）∴BD=DG（等角对等边）∵F是DE的中点（已知）∴DF=EF（中点的意义） 在△DFG 和△EFC中
∴△DFG ≌ EFC（A.A.S）∴DG=CE （全等三角形对应边相等） ∴BD=CE（等量代换） |
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