师者智慧：数学概念教学的基本流程

（文/唐逢春）

【前 言】

从2008年一直到2014年，每年暑假山东省全体数学教师都进行远程研修，这实在是全世界教师研修史上的伟大创举，在此期间，涌现了很多富有实效和充满创意的教育教学案例、教学设计等等，这大都是来自教学一线的金点妙招，既有理论水平，又有坚实的实践基础，给人以深深的启迪。这些研修成果实在是不可多得的资源库、智慧场。可惜的是由于研修平台的更替，造成了很多研修成果的丢失。我作为省课程团队成员全程参与其中，有幸收集了一些比较精彩的资源，为不让这些宝贵的资源长期被埋没，今后将在【师者智慧】这个栏目中陆续刊出，与全国的教育同行分享。

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数学概念教学的基本流程

数学概念的教学一直是我困惑多年的问题，翻阅了上世纪八十年代以来的研究，发现这些成果主要集中在概念引入的方法、概念理解的策略、概念巩固的手法.有些研究是基于教师怎样讲解的方法，现在来看已不太适应新课程所倡导的理念了.现在的许多概念教学虽然有些符合新课程的理念，但由于操作上的不当，背离了概念教学的本质.今天的培训，受益匪浅，我们确实有必要对概念形成过程的教学进行深刻的分析、对概念教学的基本流程做一些基本的设计.

一、对于概念形成过程的教学的再认识

1.从认知规律上讲，人们对事物的认识必须要借助已有的经验，在已有经验的基础上进行目标化的整理才能获得阶段性认识.如果不重视概念形成的过程即学习者已有的经验，便不能理解新概念，或对新概念理解不深刻、不全面且容易忘记.作为补救措施，进行大量的应用练习、辨析练习是能够起到一定的内化作用的，但这无疑降低了学习的效率.

2.从认知规律上讲，第一印象是至关重要的.如果在学习新概念时，没能通过已有经验的提升的过程则不易将新概念纳入原有的知识系统，这样的后果将是随着时间的推移逐渐模糊了对新概念的认识.

3.概念形成的过程就是抽象的过程.比如，函数单调性的概念：从小学就有这样的经验，初中有了图形化的表示这已经完成了一次抽象，高中学习这一概念是图形语言向符号语言的转化，形成严格的定义属于二次抽象.又比如，等差数列的概念是通过例子归纳形成的一种向文字语言的抽象.故概念形成过程的教学主要是引导学生进行抽象的过程，这一过程的设计重点就是教给学生抽象的一般方法.这是大多数教师难以达到和困惑的问题.常见的一些设计，往往是罗列了许多现实的例子、让学生举了好多例子、画了许多函数图象，到了怎样抽象就一带而过了，不能不说留下了许多遗憾.说到这一点，在许多关于函数单调性的教学设计中，教师布置了让学生画图象、举例子、找相同点、几何画板演示等许多任务就是不告诉学生为什么要完成这些任务，学习的动力受到了抑制.就函数单调性这节而言，用初中描述性的方法“上升”、“随x增大而增大”有什么不可以？关键在于有一个认知矛盾没有发现——不知道函数图象的形状，能不能研究函数的单调性.故必须学习一种新的通过运算的判断形式.

二、概念教学一般流程基本设计

有了上面的分析，我们不难得出概念教学的一般流程：

回顾以往的经验（可以举例、也可以操作）——认知冲突（学习新概念的必要性）——怎样抽象——概念的意义解释与辨析——概念的应用（深化认识）——找到联系（概念系统化与渗透）

仍以函数的单调性为例：

第一步：回顾以往经验：（1）让学生说出北京地区2007年8月8日至24日气温变化图像的意义.（函数值随自变量的变化而变化）（2）指出函数y=x2 , y=x, y=2x图像的共同点（在x>0时，函数图象是上升的，也可称为函数值随x的增大而增大，亦即区间(0,+)上的增函数）.

第二步：认知冲突：你能知道函数y=x+1/x的单调性吗？（将单调性符号化的必要性）

第三步：怎样抽象：随x的增大而增大如何表示？（1）如果0<><><><><><><>

第四步：意义的解释与辨析：（1）定义中的关键词是什么?(2)“任意”、“都有”能否去掉？试举出例子.

第五步：概念的应用：例子：物理学中的玻意耳定律p=k/V (k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积V减小时，压强p将增大.试用函数的单调性证明之.

（1）明确问题：证明函数p==k/V在区间（0，+）上是减函数.即对于（0，+）上任意的两个实数V1p(V2).

(2)回到定义去：V10；而p(V1)>p(V2)，即p(V1)?p(V2)>0.不难找到证明的思路，也深化了对于概念的理解.

如果到了第二节的学习可进行一定的找单调区间、证明单调性的问题进行练习，并研究出y=x+1/x在区间（0，+）的单调性，以解决上一节的问题.（彻底解决还需到学习了函数的奇偶性后）这样也进一步达到了对函数概念的深化理解.

第六步：找到联系.（1）对于任意的x1,x2属于D且x1与x2不相等，都有 [f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>0.能否判断函数f(x)是D上的增函数？（此举作为导数定义的渗透）

（3）画出函数的知识框图（略）：这个不完整的知识框图留给以后学习逐步完善.使学生有一个将概念系统化的意识.

我个人认为这个基本流程是符合认知规律和数学发展基本规律的一个流程.但任何事物都不是绝对的，这个基本流程本身可能也有以偏盖全之嫌，以期抛砖引玉，引起大家的讨论。