北京十三中2016届高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

2015-2016学年北京十三中高三（上）期中数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题

1．设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（ ）

A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}

【考点】并集及其运算．

【分析】求解不等式得出集合A={x|﹣1＜x＜2}，

根据集合的并集可求解答案．

【解答】解：∵集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，

∴集合A={x|﹣1＜x＜2}，

∵A∪B={x|﹣1＜x＜3}，

故选：A

2．设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log₂a＞log₂b＞0”的（ ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】充要条件．

【分析】先求出log₂a＞log₂b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案．

【解答】解：若log₂a＞log₂b＞0，则a＞b＞1，

故“a＞b＞1”是“log₂a＞log₂b＞0”的充要条件，

故选：A．

3．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）

A．588 B．480 C．450 D．120

【考点】频率分布直方图．

【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求．

【解答】解：根据频率分布直方图，

成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8．

由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为600×0.8=480人．

故选B．

4．设A，B为直线y=x与圆x²+y²=1的两个交点，则|AB|=（ ）

A．1 B． C． D．2

【考点】直线与圆相交的性质．

【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r，根据圆心在直线y=x上，得到AB为圆的直径，根据直径等于半径的2倍，可得出|AB|的长．

【解答】解：由圆x²+y²=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，

∵圆心（0，0）在直线y=x上，

∴弦AB为圆O的直径，

则|AB|=2r=2．

故选D

5．设函数f（x）=ln（1+x）+ln（1﹣x），则f（x）是（ ）

A．奇函数，且在（0，1）上是增函数 B．奇函数，且在（0，1）上是减函数

C．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D．偶函数，且在（0，1）上是减函数

【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

【分析】求出函数f（x）的定义域，判断f（x）的奇偶性，再根据复合函数的单调性判断f（x）在（0，1）上的单调性．

【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+x）+ln（1﹣x）=ln[（1+x）（1﹣x）]，x∈（﹣1，1）；

∴f（﹣x）=ln[（1﹣x）（1+x）]=f（x），

∴f（x）是（﹣1，1）上的偶函数；

又f（x）=ln[（1+x）（1﹣x）]=ln（1﹣x²），

当x∈（0，1）时，二次函数t=1﹣x²是减函数，

所以函数f（x）=ln（1﹣x²）也是减函数．

故选：D．

6．已知函数f（x）=，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（ ）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣

【考点】函数的值．

【分析】利用分段函数，求出α，再求f（6﹣α）．

【解答】解：由题意，α≤1时，2^α﹣1﹣2=﹣3，无解；

α＞1时，﹣log₂（α+1）=﹣3，∴α=7，

∴f（6﹣α）=f（﹣1）=2^﹣1﹣1﹣2=﹣．

故选：A．

7．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）

A．12种 B．10种 C．9种 D．8种

【考点】排列、组合及简单计数问题．

【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果

【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；

第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；

第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法

故不同的安排方案共有2×6×1=12种

故选 A

8．某地区在六年内第x年的生产总值y（单位：亿元）与x之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是（ ）

A．第一年到第三年 B．第二年到第四年

C．第三年到第五年 D．第四年到第六年

【考点】函数的图象．

【分析】由于年平均增长率为，其中，△y 是产值的增加值，y₀表示原来的产值，结合图形，从而得出结论．

【解答】解：由于年平均增长率为，其中，△y 是产值的增加值，y₀表示“原来”的产值，

由所给的图象可得，△y最大的是第一年到第三年，第4年到第6年，

且第一年到第三年的△y 等于第4年到第6年的△y，

但第一年的产值y₀ 较小，生产总值的年平均增长率最高的是第一年到第三年，

故选：A．

二、填空题

9．在（2x﹣1）⁸的展开式中，含x²的项的系数是 112 （用数字填写答案）

【考点】二项式系数的性质．

【分析】利用通项公式即可得出．

【解答】解：（2x﹣1）⁸的展开式中，通项公式T_r+1=（2x）^8﹣r（﹣1）^r=（﹣1）^r2^8﹣rx^8﹣r，

令8﹣r=2，解得r=6．

∴含x²的项的系数是=112．

故答案为：112．

10．若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为 4 ．

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．

【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，

由z=3x+y，得y=﹣3x+z，

平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，

直线y=﹣3x+z的截距最大，

此时z最大．

由得，即A（1，1），

此时z的最大值为z=3×1+1=4，

故答案为：4

11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点是抛物线y²=8x的焦点，且双曲线 C的离心率为2，那么双曲线C的方程为 x²﹣=1 ；渐近线方程是 y=± ．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】根据抛物线的焦点（2，0）便得到c=2，而根据双曲线C的离心率即可得到，所以a=1，所以得出b²=3，这样即可得出双曲线C的方程以及渐近线方程．

【解答】解：抛物线的焦点为（2，0）；

∴c=2；

∴根据双曲线的离心率为2得：；

∴a=1，b²=3；

∴双曲线C的方程为；

∴其渐近线方程为y=．

故答案为：，．

12．直线l₁：ax+2y﹣1=0与直线l₂：x+（a+1）y﹣1=0平行，则a= ﹣2 ．

【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．

【分析】利用平行线与斜率、截距的关系即可得出．

【解答】解：∵直线l₁：ax+2y﹣1=0与直线l₂：x+（a+1）y﹣1=0平行，

∴，

解得a=﹣2，

故答案为：﹣2．

13．在平面直角坐标系xy中，O是坐标原点，设函数f（x）=k（x﹣2）+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，给出下列四个命题：

①使△AOB的面积s=6的直线l仅有一条；

②使△AOB的面积s=8的直线l仅有两条；

③使△AOB的面积s=12的直线l仅有三条；

④使△AOB的面积s=20的直线l仅有四条．

其中所有真命题的序号是 ②③④ ．

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】由已知得出三角形的面积公式，由s的值分别解出k的值即可．

【解答】解：由已知条件：函数f（x）=k（x﹣2）+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，作出图形：可知k≠0．

由图可知：S_△OAB==．

①当s=6时，则，解得，故符合条件的直线l有两条，故①不正确；

②当s=8时，由8=，解得，故符合条件的直线l有两条，故②正确；

③当s=12时，由12=，解得，，故符合条件的直线仅有3条，故③正确；

④当s=20时，由20=，解的，k=，故符合条件的直线l共有四条，故④正确．

综上可知：正确的命题为②③④．

故答案为②③④．

14．设点M（x₀，1），若在圆O：x²+y²=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x₀的取值范围是 [﹣1，1] ．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．

【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x₀，1），

要使圆O：x²+y²=1上存在点N，使得∠OMN=45°，

则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，

而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，

此时MN=1，

图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，

∴x₀的取值范围是[﹣1，1]．

三、解答题

15．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．

	甲	乙	丙	丁
100	√	×	√	√
217	×	√	×	√
200	√	√	√	×
300	√	×	√	×
85	√	×	×	×
98	×	√	×	×

（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；

（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；

（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？

【考点】相互独立事件的概率乘法公式．

【分析】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率．

（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．

（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．

【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，

故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2．

（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），

故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3．

（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2，

同时购买甲和丙的概率为=0.6，

同时购买甲和丁的概率为=0.1，

故同时购买甲和丙的概率最大．

16．某中学在高三年级开设大学先修课程（线性代数），共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名．为了对这门课程的数学效果进行评估，学校按性别分别采用分成抽样的方法抽取5人进行考核．

（1）求抽取的5人中男、女同学的人数；

（2）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定．设甲、乙两位同学间隔的人数为X，X的分布列为

X	3	2	1	0
P		b		a

求数学期望EX；

（3）考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119．这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s₁²，s₂²，试比较s₁²与s₂²的大小．（只需写出结论）

【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．

【分析】（1）由分层抽样的性质，能求出抽取的5人中男、女同学的人数．

（2）由题意可得a=P（X=3）═，从而b=，由此能求出数学期望EX．

（3）由两组数据中相对应的数字之差均为10，得到=．

【解答】解：（1）由分层抽样的性质得：

抽取的5人中男同学的人数为×30=3，

女同学的人数为×20=2．

（2）由题意可得：P（X=0）==．

即a=，

因为a+b++=1，

所以 b=．

所以EX=3×+2×+1×+0×=1．

（3）=．

17．在平面直角坐标系xOy中，过点C（0，p）作直线l与抛物线x²=2py（p＞0）相交于A，B两点，N点是C点关于原点O的对称点，点P（2，m）是抛物线上一点，F点是抛物线的焦点，|PF|=2．

（1）求抛物线的方程；

（2）求证：∠ANC=∠BNC．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】（1）由题意，m+=2，4=2pm，求出p，即可求出抛物线的方程；

（2）直线方程为y=kx+2，代入抛物线方程得x²﹣4kx﹣8=0，利用韦达定理证明k_AN+k_BN=0，即可证明结论．

【解答】（1）解：由题意，m+=2，4=2pm，

∴p=2，

∴抛物线的方程为x²=4y；

（2）证明：设直线方程为y=kx+2，代入抛物线方程得x²﹣4kx﹣8=0，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=﹣8，

∴k_AN+k_BN=+==2k+=0，

∴∠ANC=∠BNC．

18．已知f（x）=﹣+x﹣ln（1+x），其中a＞0．

（Ⅰ）若函数f（x）在点（3，f（3））处切线斜率为0，求a的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（Ⅰ）求出导数，直接利用函数f（x）在点（3，f（3））处切线斜率为0，求解即可．

（Ⅱ）令f′（x）=0，求出极值点，①当0＜a＜1时，②当a=1时，③当a＞1时，分别判断函数的单调性求解单调区间．

（Ⅲ）利用（Ⅱ）当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（﹣1），判断0＜a＜1是否满足题意，当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，推出f（x）在[0，+∞）上的最大值为0时，求解a的取值范围即可．

【解答】（本小题共13分）

解：（Ⅰ）由题意得f′（x）=，x∈（﹣1，+∞），

由f′（3）=0?a=． …

（Ⅱ）令f′（x）=0?x₁=0，x₂=﹣1，

①当0＜a＜1时，x₁＜x₂，

f（x）与f′（x）的变化情况如下表

x	（﹣1，0）	0	（0，﹣1）	﹣1	（﹣1，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	↘	f（0）	↗	f（﹣1）	↘

∴f（x）的单调递增区间是（0，﹣1），

f（x）的单调递减区间是（﹣1，0）和（﹣1，+∞）；

②当a=1时，f（x）的单调递减区间是（﹣1，+∞）；

③当a＞1时，﹣1＜x₂＜0

f（x）与f′（x）的变化情况如下表

x	（﹣1，﹣1）	﹣1	（﹣1，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	↘	f（﹣1）	↗	f（0）	↘

∴f（x）的单调递增区间是（﹣1，0），

f（x）的单调递减区间是（﹣1，﹣1）和（0，+∞）．

综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调递增区间是（0，﹣1）．

f（x）的单调递减区间是（﹣1，0），（﹣1，+∞），

当a＞1，f（x）的单调递增区间是（﹣1，0）．

f（x）的单调递减区间是（﹣1，﹣1），（0，+∞）．

当a=1时，f（x）的单调递减区间为（﹣1，+∞）． …

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知

当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（﹣1），

但f（﹣1）＞f（0）=0，所以0＜a＜1不合题意，

当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，

由f（x）≤f（0）可得f（x）在[0，+∞）上的最大值为f（0）=0，符合题意，

∴f（x）在[0，+∞）上的最大值为0时，a的取值范围是a≥1． …

19．已知函数f（x）=e^x﹣2x．

（1）求函数f（x）的极值；

（2）证明：当x＞0时，曲线y=x²恒在曲线y=e^x的下方；

（3）讨论函数g（x）=x²﹣ae^x（a∈R）零点的个数．

参考公式：a^logaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】（1）利用导数等于0，求出函数的极值；

（2）构造函数g（x）=e^x﹣x²，求出导数，利用（1）的结论得到导函数的符号，判断g（x）的单调性，从而得出结论；

（3）a=0时，显然求出，a≠0时，问题转化为y=e^x和y=x²的交点个数，通过讨论a的范围结合（2），求出即可．

【解答】解：（1）∵函数f（x）=e^x﹣2x（x∈R），

∴f′（x）=e^x﹣2；

令f′（x）=0，即e^x﹣2=0，

解得x=ln2，

∴函数f（x）的极值是

f（ln2）=e^ln2﹣2ln2=2﹣2ln2；

（2）证明：设函数h（x）=e^x﹣x²，

∴h′（x）=e^x﹣2x；

由（1）知f（x）=e^x﹣2x在x=ln2取得极小值，

∴h′（x）≥f（ln2）=e^ln2﹣ln2=2﹣ln2＞0，

∴h（x）是R上的增函数，

∴当x＞0时，h（x）＞h（0）=1＞0，

∴e^x＞x²，即x²＜e^x；

∴当x＞0时，曲线y=x²恒在曲线y=e^x的下方；

（3）a=0时，g（x）=x²，函数g（x）有1个零点，

a≠0时，论函数g（x）=x²﹣ae^x（a∈R）零点的个数，

即讨论y=e^x和y=x²的交点个数，

①a＜0时，y=x²开口向下，和y=e^x无交点，即函数g（x）无零点；

②a＞0时，y=x²开口向上，x＜0时与y=e^x1个交点，

下面讨论x＞0的情况，

由（2）得：≤1即a≥1时， x²＜e^x；

故0＜a＜1时，y=e^x和y=x²有3个交点，g（x）有3个零点，

a≥1时，y=e^x和y=x²有1个交点，g（x）有1个零点，

综上：a＜0时，函数g（x）无零点；a=0时，函数g（x）有1个零点，

0＜a＜1时，g（x）有3个零点，a≥1时，g（x）有1个零点．

20．设F₁（﹣c，0），F₂（c，0）分别为椭圆E： +=1的左、右焦点．

（1）若椭圆的离心率是，求椭圆的方程，并写出m的取值范围；

（2）设P（x₀，y₀）为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F₂P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F₁，证明：点P在直线x+y﹣2=0上．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（1）根据椭圆的性质，m＞4﹣m，4﹣m＞0，即可求得m的取值范围，求得a=m，c²=2m﹣4，由离心率公式e=，即可求得m的值，求得椭圆方程；

（2）设P（x₀，y₀），分别求得直线F₁P的斜率及直线F₁Q的斜率和，由·=﹣1，代入求得，x₀＞0，y₀＞0，即可求得x₀+y₀=2，点P在直线x+y﹣2=0上．

【解答】解：（1）由+=1焦点在x轴上，

∴m＞4﹣m，解得：m＞2，

4﹣m＞0，m＜4，

∴m的取值范围（2，4）

c²=m﹣（4﹣m）=2m﹣4，

e====，

解得：m=3，

∴椭圆方程为：；

（2）证明：由题意可知：c²=m﹣（4﹣m）=2m﹣4，

设P（x₀，y₀），由题意可知：x₀≠0，

则直线F₁P的斜率=，直线F₂P的斜率=，

∴直线F₂P的方程为：y=（x﹣c），

当x=0时，y=﹣c，即点Q（0，﹣c），

∴直线F₁Q的斜率=，

∵以PQ为直径的圆经过点F₁，

∴·=·=﹣1，

化简得： =﹣（2m²﹣4），

∵P为椭圆E上的一点，且在第一象限内，

∴，x₀＞0，y₀＞0，

解得：x₀=，y₀=2﹣a²，

∴x₀+y₀=2，

∴即点P直线x+y﹣2=0上．

2016年9月30日