河南省洛阳市2017届高三（上）期中考试数学理试卷（解析版）

2016-2017学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）（2016秋·洛阳期中）集合A={x|1＜log₂x＜3，x∈Z}，B={x|5≤x＜9}，则A∩B=（ ）

A．[5，e²） B．[5，7] C．{5，6，7} D．{5，6，7，8}

【考点】交集及其运算．

【专题】对应思想；定义法；集合．

【分析】化简集合A，再求A∩B的值．

【解答】解：集合A={x|1＜log₂x＜3，x∈Z}

={x|2＜x＜8，x∈Z}

={3，4，5，6，7}，

B={x|5≤x＜9}，

∴A∩B={5，6，7}．

故选：C．

【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．

2．（5分）（2016秋·洛阳期中）复数的共扼复数是（ ）

A．﹣+i B．﹣﹣i C．﹣i D．+i

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【专题】转化思想；数系的扩充和复数．

【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．

【解答】解：复数==的共扼复数是+i．

故选：D．

【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．（5分）（2016秋·洛阳期中）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ）

A．若m∥α，m∥β，则α∥β B．若m∥α，α∥β，则m∥β

C．若，，则 D．若，，则

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．

【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，m∥β或m?β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，m⊥与β相交、平行或m?β．

【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：

在A中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；

在B中，若m∥α，α∥β，则m∥β或mβ，故B错误；

在C中，若，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；

在D中，若，α⊥β，则m⊥与β相交、平行或mβ，故D错误．

故选：C．

【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．

4．（5分）（2016秋·洛阳期中）函数y=lncos（2x+）的一个单调递减区间是（ ）

A．（﹣，﹣） B．（﹣，﹣） C．（﹣，﹣） D．（﹣，）

【考点】复合函数的单调性．

【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．

【分析】先求出函数的定义域，结合复合函数单调性的关系进行求解即可．

【解答】解：设t=cos（2x+），则lnt在定义域上为增函数，

要求函数y=lncos（2x+）的一个单调递减区间，

即求函数函数t=cos（2x+）的一个单调递减区间，同时t=cos（2x+）＞0，

即2kπ≤2x+＜2kπ+，k∈Z，

即kπ﹣≤x＜kπ+，k∈Z，

当k=0时，﹣≤x＜，即函数的一个单调递减区间为（﹣，﹣），

故选：C

【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系以及对数函数和三角函数的性质是解决本题的关键．

5．（5分）（2016秋·洛阳期中）O为△ABC内一点，且2++=，=t，若B，O，D三点共线，则t的值为（ ）

A． B． C． D．

【考点】平行向量与共线向量．

【专题】数形结合；转化思想；平面向量及应用．

【分析】以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于点E，E为BC的中点．2++=，可得=﹣2==2，因此点O是直线AE的中点．可得B，O，D三点共线，=t，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，点M为AC的中点．利用平行线的性质即可得出．

【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于点E，E为BC的中点．

∵2++=，∴=﹣2==2，

∴点O是直线AE的中点．

∵B，O，D三点共线，=t，∴点D是BO与AC的交点．

过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．

则OM=EC=BC，

∴=，

∴，

∴AD=AM=AC，=t，

∴t=．

故选：B．

【点评】本题考查了向量三角形法则、平行线的性质定理、向量共线定理三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

6．（5分）（2016秋·洛阳期中）一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图，则该几何体的体积是（ ）

A． B． C． D．

【考点】由三视图求面积、体积．

【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．

【分析】把三视图还原成原图如图：是一个棱长为1的正方体切去了四个小三棱锥．

【解答】解：把三视图还原成原图如图：是一个棱长为1的正方体切去了四个小三棱锥．

∴V=1﹣=．

故选：B．

【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

7．（5分）（2016秋·洛阳期中）由y=x，y=，x=2及x轴所围成的平面图形的面积是（ ）

A．ln2+1 B．2﹣ln2 C．ln2﹣ D．ln2+

【考点】定积分在求面积中的应用．

【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的概念及应用．

【分析】利用定积分的几何意义，首先表示平面图形，然后计算定积分．

【解答】解：由题意，由y=x，y=，x=2及x轴所围成的平面图形如图，其面积是；

故选：D．

【点评】本题考查了定积分的应用；关键是将曲边梯形的面积正确利用定积分表示，然后正确计算．

8．（5分）（2016秋·洛阳期中）直角△ABC中，∠C=90°，D在BC上，CD=2DB，tan∠BAD=，则sin∠BAC=（ ）

A． B． C． D．或

【考点】正弦定理．

【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．

【分析】设DE=k，BD=x，CD=2x，BC=3x，先在Rt△ADE中，由tan∠BAD=，得出AE=5k，AD=k，在Rt△BDE中，由勾股定理求出BE，于是AB=AE+BE=5k+，然后根据AC的长度不变得出AD²﹣CD²=AB²﹣BC²，即26k²﹣4x²=（5k+）²﹣9x²，解方程求出x=k，或x=k，然后在Rt△ABC中利用正弦函数的定义即可求解．

【解答】解：设DE=k，BD=x，CD=2x，BC=3x．

∵在Rt△ADE中，∠AED=90°，tan∠BAD==，

∴AE=5DE=5k，

∴AD==k．

∵在Rt△BDE中，∠BED=90°，

∴BE==，

∴AB=AE+BE=5k+．

∵∠C=90°，

∴AD²﹣CD²=AB²﹣BC²，

即26k²﹣4x²=（5k+）²﹣9x²，

解得k²=x²，或x²，

即x=k，或x=k，

经检验，x=k，或x=k是原方程的解，

∴BC=3k，或k，

AB=AE+BE=5k+=6k，或，

∴sin∠BAC==，或．

【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，设DE=k，BD=CD=x，利用勾股定理列出方程26k²﹣4x²=（5k+）²﹣9x²是解题的关键，本题也考查了解无理方程的能力，考查了转化思想和数形结合思想，计算量较大，属于难题．

9．（5分）（2016秋·洛阳期中）已知函数f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=在（0，+∞）解的个数是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【考点】函数奇偶性的性质．

【专题】综合题；数形结合；综合法；函数的性质及应用．

【分析】确定f（x）是以4为周期的周期函数，关于直线x=1对称，作出相应函数的图象，即可得出结论．

【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），

∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．

∴f（x）是以4为周期的周期函数．

∵f（x+2）=﹣f（x）=f（﹣x），

∴函数关于直线x=1对称，

在（0，+∞）上函数y=f（x）与y=的图象如图所示，交点有4个，

∴方程f（x）=在（0，+∞）解的个数是4，

故选B．

【点评】本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性，考查数形结合的数学思想，属于中档题．

10．（5分）（2016秋·洛阳期中）已知数列S_n为等比数列{a_n}的前n项和，S₈=2，S₂₄=14，则S₂₀₁₆=（ ）

A．2²⁵²﹣2 B．2²⁵³﹣2 C．2¹⁰⁰⁸﹣2 D．2²⁰¹⁶﹣2

【考点】等比数列的前n项和．

【专题】计算题；转化思想；整体思想；等差数列与等比数列．

【分析】由S_n为等比数列{a_n}的前n项和，由前n项和公式求得a₁和q的数量关系，然后再来解答问题．

【解答】解：∵数列S_n为等比数列{a_n}的前n项和，S₈=2，S₂₄=14，

∴=2，①

=14，②

由②÷①得到：q⁸=2或q⁸=﹣3（舍去），

∴=2，

则a₁=2（q﹣1），

∴S₂₀₁₆===2²⁵³﹣2．

故选：B．

【点评】本题考查了等边数量的前n项和，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键，注意：本题中不需要求得首项和公比的具体数值．

11．（5分）（2016秋·洛阳期中）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=AB=AC=1，PA⊥面ABC，∠BAC=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（ ）

A．3π B．4π C．5π D．8π

【考点】球内接多面体．

【专题】综合题；方程思想；综合法；立体几何．

【分析】求出BC，可得△ABC外接圆的半径，进而可得三棱锥P﹣ABC的外接球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积．

【解答】解：△ABC中，BC==．

设△ABC外接圆的半径为r，则2r=，

∴r=1，

∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为=，

∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为=5π．

故选：C．

【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P﹣ABC的外接球的半径是关键．

12．（5分）（2016秋·洛阳期中）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）=x·e^x，且f（0）=，则的最大值为（ ）

A．0 B． C．1 D．2

【考点】导数的运算．

【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的概念及应用．

【分析】先构造函数，F（x）=，根据题意求出f（x）的解析式，即可得到=，再根据根的判别式即可求出最大值．

【解答】解：令F（x）=，则F′（x）===x，

则F（x）=x²+c，

∴f（x）=e^x（x²+c），

∵f（0）=，

∴c=，

∴f（x）=e^x（x²+），

∴f′（x）=e^x（x²+）+x·e^x，

∴=，

设y=，

则yx²+y=x²+2x+1，

∴（1﹣y）x²+2x+（1﹣y）=0，

当y=1时，x=0，

当y≠1时，要使方程有解，

则△=4﹣4（1﹣y）²≥0，

解得0≤y≤2，

故y的最大值为2，

故的最大值为2，

故选：D．

【点评】本题考查了导数和函数的关系以及函数的值域问题，关键是构造函数和利用根的判别式求函数的值域，属于中档题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）（2016秋·洛阳期中）若=，则tan2α的值为 ﹣ ．

【考点】同角三角函数基本关系的运用．

【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．

【分析】利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．

【解答】解：若==，则tanα=3，∴tan2α===﹣，

故答案为：﹣．

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．

14．（5分）（2016秋·洛阳期中）等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和，若a₅=10，S₅=30，则+++…+= ．

【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．

【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．

【分析】设等差数列{a_n}的公差为d，由a₅=10，S₅=30，可得，解得a₁，d．可得S_n，再利用“裂项求和”方法即可得出．

【解答】解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₅=10，S₅=30，∴，

解得a₁=d=2．

∴S_n==n（n+1），

∴==．

则+++…+=++…+=1﹣=．

故答案为：．

【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15．（5分）（2016秋·洛阳期中）等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积为 ．

【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．

【分析】由题意可得BC边上的高为||，利用直角三角形中的边角关系求得∠C=30°=∠B，可得∠A=120°，AB=AC，利用余弦定理求得AB=AC的值，可得△ABC的面积·AB·AC·sin120° 的值．

【解答】解：等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积

故BC边上的高为||，故有sin∠C==，∴∠C=30°=∠B，∴∠A=120°，AB=AC，

∴=AB²+AC²﹣2AB·AC·cos120°，∴AB=AC=2，∴△ABC的面积为·AB·AC·sin120°=，

故答案为：．

【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，直角三角形中的边角关系，余弦定理，属于中档题．

16．（5分）（2016秋·洛阳期中）a，b为正数，给出下列命题：

①若a²﹣b²=1，则a﹣b＜1；

②若﹣=1，则a﹣b＜1；

③e^a﹣e^b=1，则a﹣b＜1；

④若lna﹣lnb=1，则a﹣b＜1．

期中真命题的有 ①③ ．

【考点】不等式的基本性质．

【专题】综合题；转化思想；综合法；不等式．

【分析】不正确的结论，列举反例，正确的结论，进行严密的证明，即可得出结论．

【解答】解：①中，a，b中至少有一个大于等于1，则a+b＞1，

由a²﹣b²=（a+b）（a﹣b）=1，

所以a﹣b＜1，故①正确．

②中﹣==1，只需a﹣b=ab即可，

取a=2，b=满足上式但a﹣b=＞1，故②错；

③构造函数y=x﹣e^x，x＞0，y′=1﹣e^x＜0，函数单调递减，

∵e^a﹣e^b=1，∴a＞b，

∴a﹣e^a＜b﹣e^b，

∴a﹣b＜e^a﹣e^b=1，

故③正确；

④若lna﹣lnb=1，则a=e，b=1，a﹣b=e﹣1＞1，故④不正确．

故答案为：①③．

【点评】本题考查不等式的性质、导数的应用等基础知识，意在考查学生分析问题解决问题的能力、推理能力、运用转化与化归思想的能力．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（10分）（2016秋·洛阳期中）数列{a_n}中，a₁=1，a_n﹣a_n+1=a_na_n+1，n∈N^*．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）S_n为{a_n}的前n项和，b_n=S_2n﹣S_n，求b_n的最小值．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．

【分析】（1）由a₁=1，a_n﹣a_n+1=a_na_n+1，n∈N^*．可得=1，利用等差数列的通项公式即可得出．

（2）由（1）可得：b_n=S_2n﹣S_n=+…+．再利用数列的单调性即可得出．

【解答】解：（1）∵a₁=1，a_n﹣a_n+1=a_na_n+1，n∈N^*．∴=1，

∴数列是等差数列，公差为1，首项为1．

∴=1+（n﹣1）=n，可得a_n=．

（2）由（1）可得：S_n=1++…+．

∴b_n=S_2n﹣S_n=+…+．

∴b_n+1﹣b_n=+…+++﹣（+…+）

=+﹣=﹣＞0，

∴数列{b_n}单调递增，∴b_n的最小值为b₁=．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．（12分）（2016秋·洛阳期中）函数y=﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（﹣，））的一条对称轴为x=，一个对称中心为（，0），在区间[0，]上单调．

（1）求ω，φ的值；

（2）用描点法作出y=sin（ωx+φ）在[0，π]上的图象．

【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的图象．

【专题】综合题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．

【分析】（1）由条件利用三角形函数的周期，对称轴，对称中心，即可ω，φ．

（2）用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期[0，π]上的图象．

【解答】解：（1）由题意得：，即，解得

又ω＞0，k∈Z，所以ω=2，

x=为对称轴，2×+φ=kπ+，所以φ=kπ﹣，

又φ∈（﹣，），

∴φ=﹣，

（2）由（1）可知f（x）=sin（2x﹣），

由x∈[0，π]，

所以2x﹣∈[﹣，]，

列表：

2x﹣	﹣	0		π
x	0					π
f（x）	﹣	0	1	0	﹣1

画图：

【点评】本题主要考查三角函数的周期，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，属于中档题．

19．（12分）（2016秋·洛阳期中）锐角△ABC中，其内角A、B满足：2cosA=sinB﹣cosB．

（1）求角C的大小；

（2）D为AB的中点，CD=1，求△ABC面积的最大值．

【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．

【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．

【分析】（1）由已知利用特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式可得cosA=cos（﹣B），结合A，B为锐角，利用三角形内角和定理可求C的值．

（2）设∠ACD=α，延长CD到E，使CD=DE，则AEBC为平行四边形，在△ACE中，由正弦定理可得a=4sinα，b=4sin（﹣α），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用化简可得S_△ABC=2sin（2α+）﹣，利用正弦函数的性质可求△ABC面积的最大值．

【解答】（本题满分为12分）

解：（1）∵2cosA+cosB=sinB，可得：cosA=sinB﹣cosB=cos（﹣B），…2分

又∵A，B为锐角，

∴0，＜﹣B＜，

∴A=﹣B，A+B=，可得：C=π﹣=．…5分

（2）设∠ACD=α，延长CD到E，使CD=DE，

则AEBC为平行四边形，

在△ACE中，AC=b，AE=BC=α，CE=2，∠CAE=，∠AEC=﹣α，

由正弦定理可得：==，

所以，a=4sinα，b=4sin（﹣α），…7分

S_△ABC=absin∠ABC=sin

=4sinα·sin（﹣α）=2sinαcosα﹣2sin²α

=sin2α+cos2α﹣=2sin（2α+）﹣，…11分

当α=时，△ABC的面积取得最大值，最大值为2﹣．…12分

【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式，三角形内角和定理，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，综合性较强，属于中档题．

20．（12分）（2016秋·洛阳期中）函数f（x）=x·e^x．

（1）求f（x）的极值；

（2）k×f（x）≥x²+x在[﹣1，+∞）上恒成立，求k值的集合．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用．

【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值即可；（2）分离参数，令φ（x）=，根据函数的单调性求出k的值即可．

【解答】解：（1）f′（x）=e^x（x+1），

令f′（x）＞0，解得：x＞﹣1，

令f′（x）＜0，解得：x＜﹣1，

∴f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，

∴f（x）在极小值是f（﹣1）=﹣，无极大值；

（2）x＞0时，k≥，

令φ（x）=，则φ′（x）=＜0，

φ（x）在（0，+∞）递减，

故φ（x）≤φ（0）=1，即k≥1；

﹣1≤x＜0时，k≤，

φ′（x）=＜0，

故φ（x）在[﹣1，0]递减，φ（x）≥φ（0）=1，

故k≤1，

综上，k=1，

故k∈{1}．

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．

21．（12分）（2016秋·洛阳期中）等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=．

（1）求证：平面EFP⊥平面ABFE；

（2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．

【专题】转化思想；运动思想；空间角；立体几何．

【分析】（1）用分析法找思路，用综合法证明．取EF中点O，连接OP、OC．等腰三角形CEF中有CO⊥EF，即OP⊥EF．根据两平面垂直的性质定理，平面PEF和平面ABFE的交线是EF，且PO⊥EF，分析得PO⊥平面ABFE．故只需根据题中条件证出PO⊥平面ABFE，即可利用面面垂直的判定定理证得平面EFP⊥平面ABFE．

（2）根据第一问分析空间位置关系，可建立空间直角坐标线求得平面ABP和平面AEP的法向量的所成角，利用向量角和二面角关系，确定二面角大小．

【解答】解：（1）证明：在△ABC中，D为AB中点，O为EF中点．

由AC=BC=，AB=2．

∵E、F分别为AC、BC的中点，

∴EF为中位线，得CO=OD=1，CO⊥EF

∴四棱锥P﹣ABFE中，PO⊥EF，…2分

∵OD⊥AB，AD=OD=1，∴AO=，

又AP=，OP=1，

∴四棱锥P﹣ABFE中，有AP²=AO²+OP²，即OP⊥AO，…4分

又AO∩EF=O，EF、AO?平面ABFE，

∴OP⊥平面ABFE，…5分

又OP?平面EFP，

∴平面EFP⊥平面ABFE． …6分

（2）由（1）知OD，OF，OP两两垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系（如图）：

则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），E（0，，0），P（0，0，1）…7分

∴，，

设，分别为平面AEP、平面ABP的一个法向量，

则? 取x=1，得y=2，z=﹣1

∴． …9分

同理可得 ，…11分

由于=0，

所以二面角B﹣AP﹣E为90°． …12分

【点评】证面面垂直，找对线面垂直是解决问题的关键，求二面角转化为向量角是解决问题方向．考查了空间位置关系，用勾股定理确定垂直关系，求二面角大小的空间向量法，平面法向量的求解方法．考查了折叠问题的运动思想，空间想象能力，分析问题解决问题的能力，化归与转化的能力．属于中档题．

22．（12分）（2016秋·洛阳期中）已知函数f（x）=lnx﹣有两个零点x₁、x₂．

（1）求k的取值范围；

（2）求证：x₁+x₂＞．

【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】（1）问题转化为函数g（x）=xlnx的图象与直线y=k有2个交点，求出g（x）的单调性，画出函数图象，从而求出k的范围即可；

（2）设x₁＜x₂，根据函数的单调性得到x₂，﹣x₁∈（，+∞），g（x）在（，+∞）递增，从而证出结论即可．

【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣有2个零点，

即函数g（x）=xlnx的图象与直线y=k有2个交点，

g′（x）=lnx+1，

令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，

∴g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，

x=是极小值点，g（）=﹣，

又x→0时，g（x）→0，

x→+∞时，g（x）→+∞，g（1）=0，

g（x）的大致图象如图示：

；

由图象得：﹣＜k＜0，

（2）证明：不妨设x₁＜x₂，由（1）得：0＜x₁＜＜x₂＜1，

令h（x）=g（x）﹣g（﹣x）=xlnx﹣（﹣x）ln（﹣x），

h′（x）=ln[﹣（ex﹣1）²+1]，

当0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）在（0，）递减，h（）=0，

∴h（x₁）＞0，即g（x₁）＞g（﹣x₁），g（x₂）＞g（﹣x₁），

x₂，﹣x₁∈（，+∞），g（x）在（，+∞）递增，

∴x₂＞﹣x₁，

故x₁+x₂＞．

【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，是一道中档题．