联盟荐文|矩形的性质及其拓展

 

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前言

研究特殊四边形的性质时，一般从四边形的边、角、对角线、对称性、面积、与其他基本图形的关系（主要是三角形和圆）等方面入手。

由定义，有一内角为直角的平行四边形为矩形。由此推出矩形的一些性质：

四个内角都是直角；

两条对角线相等且互相平分；

对角线分割矩形的四个三角形都是等腰三角形；

矩形内接于以对角线为直径的圆；

矩形即是中心对称也是轴对称图形。

由于矩形中出现了 4个直角和 4 个等腰三角形，所以课内习题对矩形性质的考查主要结合直角（三角形）的性质、等腰三角形的性质。当然，矩形还具有平行四边形的所有性质，这更不能忽视。

先考虑 直角：① 角度互余；② 勾股定理及斜高公式；③ 斜边中线；④ 圆 ；⑤ 面积问题。

再考虑 等腰三角形：① 角度推导；② 三线合一；③ 底边上一点到两腰距离之和为定值；④ 旋转；⑤ 等边三角形相关。

课内部分

1

勾股定理（直角翻折）

初三前，几何计算以 勾股定理 为主要手段。到了初三，原先不得不用勾股定理解决的问题（二次方程），可以通过比例线段、相似和三角比来巧算（一次方程）。

第1题

答案：10.

第2题

答案：16.9

2

面积问题及斜高公式

第3题

矩形边上任一点到两对角线的距离之和为定值。例如，给定 AB=3，AD=4，试求 PM+PN 的和

先猜后证：点 P 取特殊点，可以知道该定值等于等腰三角形的腰高。证明方法有面积法、翻折全等或三角比。

答案：2.4.

接下来这两题对于面积法来说经典得不能再经典，一道是小学奥数，另一道是宝山一模。当然，本质上是平行四边形的面积特性，只是问题用矩形来设计的。小编一并收录于此。

第4题

如下图，矩形 ABCD，正方形 AEFG，E 在 BC上，D 在 GF上。若 AG=5，AD=9，试求 AB 的长度

答案：25/9.  

提示：联结 ED，证明正方形和矩形面积相等

第5题

一条直线经过点 M 且平分阴影部分的面积，试求直线的解析式。

答案：延长 ED 交 AB 于点 F，点 M 是矩形 AOEF的中心，只需取正方形 FDCB 的中心 N（3，3），直线 MN 即为所求直线。

3

角度推导

矩形含直角、含等腰，其角度性质十分重要，尤其在配合一些特殊角度的情形下：

第6题

本题要注意到因 60° 角形成的等边三角形 OCB，又要注意到角分线+平行得到的等腰直角三角形 ECB，从而推出等腰三角形 OFC。

第7题

首先带同学们复习如何证明线段相等：① 全等；② 等角对等边； ③ 斜边中线；④ 中垂线或角分线。处理方法：① 直接证明；② 引入第三个等量过渡；③ 证它们和同一线段的和、差、商积相等。

本题首先联想到矩形对角线相等，联结 AC 引入第三个量，接着可以通过角度推到来证明 AC=CF。还有一位同学利用45°构造了等腰直角三角形来直接证明全等，很厉害。

4

斜边中线和圆

第8题

四边形 ABCD 是矩形，E 是矩形外一点，且 ∠AEC=90°，试证明：∠BED=90°.  

答案：联结 EO，可证：EO = AO = BO = CO = DO，进而推导出∠BED 的度数。请注意：这五点在同一个圆上！

5

一道证明题的多种解法

第9题

上课时尽量要求同学们用多种方法解出：① 构造含有 BC、CD的全等的直角三角形，构造矩形；② 平移 BC；③ 旋转 △BCD；④ 四点共圆（可知 ABCD 四点共圆，联结 BD、AC 即可）。

竞赛部分

竞赛题综合性都比较强，很多时候，待证结论都是由一系列小问题拼接而成的，只要发现线索，抽丝拨茧即可解出。

1

勾股定理（矩形内的点）

第10题

结论很明显，勾股定理的思路。过点 P 向四边作垂线即可。此题点 P 可不限制在矩形内，只要 P 在矩形所在平面内即可。学生可以继续探究四个距离的平方和的最小值，可求得当P点在矩形中心时，PA^2 + PB^2 + PC^2 + PD^2 最小。

当然，勾股定理可以改为建立坐标系用两点间距离公式的解析法，证明起来会简洁明快一些。

2

与圆有关问题

第11题

平面上有 n 个点，其中任意三点都能组成直角三角形，求 n 的最大值。

解答：本题来自前苏联，在近几年的自招中出现过，以填空形式出现，答案还是容易猜出的。先猜后证，n至少是 4.  接下来说明 n 不能超过 4.  

反证法，若平面上有五个或以上的点满足题目要求，则先把这些点都两两联结，找出其中 最长的 一条线段，不妨设为 AB，则显然有∠ACB =∠ADB =∠AEB=...... = 90°，即点 C、D、E 等皆在以 AB 为直径的圆上。

由抽屉原理，至少有两个点在同一个半圆弧中，不妨记为 D 、E，显然，三角形 AED 是钝角三角形，与题意违背。故假设不成立，n 最多取 4，矩形的四个顶点是满足条件的点。综上，n 的最大值为 4.  本题采取了极端原理，抽屉原理，都是为了简化讨论，抓住关键。

3

与面积有关问题

第12题

本题可以从四点共圆或三角计算入手：

解法一（兰生复旦朱斌老师提供）

解法二（小编提供）

第13题

上海市新知杯 2008 年决赛试题

5

切割问题

第14题

（1）写出将任意三角形分割，重新拼成矩形的方法。

（2）写出将任意凸四边形分割，重新拼成矩形的方法。

解答：一组对边中点向另一组对边中点的联线引垂线，将四边形切割成四块，重新拼接即可。

（3）证明：任意三角形可分割成三个多边形（含三角形），其中之一为钝角三角形，且能重新拼为一个矩形。

解答：这里只画非等腰的情形，依然与中点有关。找到三角形的最大角，不妨设为 A，过 A 引BC 的垂线，垂足为 D。如图，找出点 C 关于点 D 的对称点 M， 再取 BM、AB 的中点 E、F 即可完成拼接。

6

重叠问题

第15题

如图所示，两个完全等大的矩形叠在一起，形成 8 个交点。试证明：阴影部分的面积（即重合部分）比一个矩形面积的一半要大。

无字证明：

（注：最后两题留作练习，有兴趣的朋友可以自己试试）

第16题

正方形 ABCD 的边长和矩形 PQRS 的宽都为 a，矩形顶点 P 在边 CD上，QR 与边 AD、AB 分别交于点 M、N，PS 交边 BC 于点 O。试证明：无论矩形如何放置，只要点 M、N、O、P 四点存在，则两个阴影三角形的周长之和总为定值。（即△AMN及△OPC）

2

鞋匠刀形

第17题

鞋匠刀形有着极其丰富的几何性质，相关的研究相当多。这里仅列举的一个与有关矩形的性质。

如下图：线段 AB 上有一点 C，分别以AB、AC、BC为直径作半圆，圆心分别为 O、O1、O2。点 D 在圆 O 上且 CD 垂直 AB，直线 l 与O1、O2 分别切于点 E、F。试证明：四边形 CEDF 是矩形。

此文献给长期以来给我支持的  JZYH 及 SYF 同学

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