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今天和大家分享两道初中数学几何题。我将这两道题放在一块，是因为它们是一类题型。在含等腰三角形的图形中，如果普通的方法难以求出结果，通常就需要考虑旋转。这两道题都是通过旋转，构造出直角三角形。但它们又有所不同，一道是通过构造出直角，得出直角三角形；另一道却是构造出符合直角三角形三边关系，得出直出三角形。学习这两道题，对于旋转构造直角会有更全面深入的理解。 题1如图，AB=AC，∠BAC=120°,∠BDA=60°,BD=5，CD=7，求AD。  出现等腰三角形的几何难题，通常需要将等腰三角形的一边所带的三角形旋转，使这一边与另一边重合，然后构造出新的三角形进行求解。 在本题中，可以将AB所带的△ABD旋转，使AB与AC重合；也可以将AC所带的△ACD旋转，使AC与AB重合，解题思路是一致的。 在这里采用前者，也就是将AB所带的△ABD旋转，使AB与AC重合，进行讲解。 作图方法：将△ABD绕A点旋转，使AB与AC重合，得到△AEC，连接DE，过A点作DE的垂线，交DE于F。 因为旋转，EC=BD=5，AD=AE，∠DAE=∠BAC=120°，∠ADB=∠AEC=60°。 可得∠ADE=∠AED=30°，∠DEC=∠AED+∠AEC=90°. 在直角△DEC中，EC=5，DC=7,运用勾股定理，可求得DE=2√6。 由三线合一，F是DE的中点，DF=√6。 在△ADF中，运用三角函数，可求AE=2√2。 本题中，通过旋转，因为特殊的角，恰好可以构造出一个直角，从而应用勾股定理进行求解。 题2如图，等腰直角△ABC，AC=BC，点O在△ABC内，AO=11，BO=7，CO=6，求∠BOC。  运用相同的方法，我们可以旋转AB边所带的△ABO，使AB与BC重合；也可以旋转BC边所带的△BOC，使BC与AB重合。 这里采用旋转AB边所带的△ABO，使AB与BC重合进行讲解。 作图方法：将△ABO绕B点旋转，使AB与BC重合，得△BDC，连接DO。 因为旋转，BO=DO=6，DC=AO=11，∠OBD=∠ABC=90°。 易知△DBO是个等腰直角三角形，DO=6√2。 在△DOC中有，DO的平方+CO的平方=DC的平方，所以△DOC是个直角三角形，∠DOC=90° ∠BOC=∠DOC+∠DOB=135° 另外，本题更深一步，可以求出BC的长度。  我们知道，边角边可以确定唯一的三角形，所以BC的长度是确定的。高中会学余弦定理，直接求出。 在初中阶段，可通过构造直角三角形，运用勾股定理求出。 作图方法：过C点作BO的垂线，交BO的延长线于E，运用三角函数，求出OE，EC，然后运用勾股定理，求出BC。 因为本题计算中，根号下面会有根号，不符合初中计算水平，在这里不进行求解，有兴趣的朋友可尝试一下。 今天的分享就到这里，通过两道例题的讲解，我希望大家，遇到含等腰三角形的难题，常规方法解不出来时，要尝试通过旋转的方法来解决问题。 |
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