圆中常用辅助线的添法 作者:会 圆是初中数学重点内容,属中考必考内容,中考中有关圆的问题,大部分需添辅助线解之,那么圆问题中常用的辅助线有哪些呢?现就圆中常用辅助线的添法作一归纳,以期对同学们的学习有所帮助.
一、 作弦心距. 在解决有关弦的问题时,常常作弦心距,以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心距之间的关系定理及推论. 例1.如图,AB是⊙O的直径,PO⊥AB交⊙O于P点,弦PN与AB相交于点M, 求证:PM·PN=2PO2. 分析:要证明PM·PN=2PO2,即证明PM·PC =PO2, 过O点作OC⊥PN于C,根据垂经定理 NC=PC,只需证明 PM·PC=PO2,要证明PM·PC=PO2只需证明Rt△POC∽Rt△PMO. 证明: 过圆心O作OC⊥PN于C,∴PC= PN ∵PO⊥AB, OC⊥PN,∴∠MOP=∠OCP=90°. 又∵∠OPC=∠MPO,∴Rt△POC∽Rt△PMO. ∴ 即∴PO2= PM·PC. ∴PO2= PM·PN,∴PM·PN=2PO2.
二、 作直径所对的圆周角 在解决有关直径的问题时,常常作直径所对的圆周角,以利用直径所对的圆周角是直角的性质。 例2 如图,在△ABC中,∠C=90°,以BC上一点O为圆心,以OB为半径的圆交AB于点M,交BC于点N. (1) 求证:BA·BM=BC·BN; (2) 如果CM是⊙O的切线,N为OC的中点,当AC=3时,求AB的值. 分析:要证BA·BM=BC·BN,需证△ACB∽△NMB,而∠C=90°,所以需要△NMB中有个直角,而BN是圆O的直径,所以连结MN可得∠BMN=90°。 (1) 证明:连结MN,则∠BMN=90°=∠ACB ∴△ACB∽△NMB ∴ ∴AB·BM=BC·BN (2) 解:连结OM,则∠OMC=90° ∵N为OC中点
B ∵OM=OB,∴∠B=∠MON=30° ∵∠ACB=90°,∴AB=2AC=2×3=6
三、连结半径 圆的半径是圆的重要元素,圆中的许多性质如:“同圆的半径相等”和“圆的切线垂直于过切点的半径”等都与圆的半径有关,连结半径是常用的方法之一. 例3.已知:如图,△ABC中,∠B=90°,O是AB上一点,以O为圆心,以OB为半径的圆切AC于D点,交AB与E点,AD=2,AE=1. 求CD的长. 分析:D为切点,连结DO,则∠ODA=90°.根据切线长定理,有CD=CB.DO=EO=半径r,在Rt△ADO中根据勾股定理或Rt△ADO~ Rt△ABC,即可求出CD. 证明: 连结DO ∴OD⊥AC于D, ∴∠ODA =90°. ∵AB过O点, ∠B=90°. ∴BC为⊙O的切线, ∴CD=CB 设CD=CB=x,DO=EO=y 在Rt△ADO中,AO2 =AD2+ DO2,AD=2,AE=1 ∴, 解得 y= 在Rt△ABC中,AC2 =AB2+ BC2,即(2+x)2=(1+ y + y)2+x2, ∴x=3 ∴CD=3.
四、连结公共弦 在处理有关两圆相交的问题时,公共弦像一把“钥匙”,常常可以打开相应的“锁”,因此“遇到相交圆,连接公共弦.”。 例4.已知:如图,⊙O1和⊙O2相交于点A和B, O2O1的延长线交⊙O1于点C,CA、CB的延长线分 别和⊙O2相交于点D、E,求证:AD=BE. 分析:⊙O1和⊙O2是相交的两圆,作公共弦AB为辅助线. 证明:连结AB交O2O1于P点 , ∵O1 O2⊥A B且O1O2平分AB ∴CA=CB ∴∠ACP=∠BCP ∴点O2到线段AD、BE的距离相等 ∴AD=BE.
五、作连心线 两圆相交,连心线垂直平分两圆的公共弦;两圆相切,连心线必过切点.通过作两圆的连心线,可沟通圆心距、公共弦、两圆半径之间的关系.因此,“已知有两圆,常画连心线.”. 例5.已知:如图,⊙A和⊙B外切于P点,⊙A的半径为r,⊙B的半径为3r, CD为⊙A、⊙B的外公切线,C、D为切点,求:(1)CD的长;(2)CD与弧PD及弧PC所围成的阴影部分的面积. 解:(1)连结AB、AC、BD ∵⊙A和⊙B外切于P点,∴AB过P点 ∵CD为⊙A、⊙B的外公切线,C、D为切点, ∴AC⊥CD,BD⊥CD 过A点作AE⊥BD于E,则四边形ACDE为矩形. ∴DE=AC= r,BE=BD-DE=3r-r=2r 在Rt△AEB中,AB=AP+PB=r+3r=4r,BE=2r ∴AE= ∴CD=2r . (2)由(1)可知COSB= ,∴∠B=60°. ∴∠CAB=∠CAE+∠BAE=90°+30°=120°. ∴S阴影=S梯形ABDC-S扇形BPD-S扇形ACP =4-π- π=(4-π)
六、作公切线 分析:相切两圆过切点有一条公切线,这条公切线在解题时起着非常重要的作用,如下题中所作的内公切线MN起到沟通两圆的作用.因此,相切两圆过切点的公切线是常用辅助线. 例6.已知:⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的外公切线,B、C为切点. 求证:AB⊥AC 证明:过切点A作公切线MN交BC于P点, ∵BC是⊙O1和⊙O2的外公切线, ∴PB=PA=PC ∴∠PBA=∠PAB,∠PAC=∠PCA ∵∠PBA+∠PAB+∠PAC+∠PCA= 180 °. ∴∠BAC= 90 °. ∴AB⊥AC.
七、切线判定分两种:公共点未知作垂线、公共点已知作半径 切线的判定定理是:“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”,就是说,要判定一条直线是否是切线,应同时满足这样的两条:(1)直线经过半径的外端,(2)直线垂直于这条半径,所以,在证明直线是切线时, 往往需要通过作恰当的辅助线,才能顺利地解决问题.下面是添辅助线的小规律. 1.无点作垂线 需证明的切线,条件中未告之与圆有交点,则联想切线的定义,过圆心作该直线的垂线,证明垂足到圆心的距离等于半径. 例7.已知:如图,AB是⊙O的直径,AD⊥AB于A, BC⊥AB于B,若∠DOC= 90°. 求证:DC是⊙O的切线. 分析:DC与⊙O没有交点,“无点作垂线”,过圆心O作OE⊥DC,只需证OE等于圆的半径.因为AO为半径,若能证OE=OA即可.而OE、OA在△DEO、△DAO中,需证明△DEO≌△DAO 证明:作OE⊥DC于E点,取DC的中点F,连结OF. 又∵∠DOC= 90°. ∴ FO=FD ∴∠1=∠3. ∵AD⊥AB,BC⊥AB, ∴BC∥AD, ∴OF为梯形的中位线. ∴OF∥AD . ∴ ∠2=∠3. ∴∠1=∠2. ∴DO是∠ADE的角平分线. ∵OA⊥DA,OE⊥DC, ∴OA=OE=圆的半径. ∴ DC是⊙O的切线. 2.有点连圆心. 当直线和圆的公共点已知时,联想切线的判定定理,只要将该点与圆心连结,再证明该半径与直线垂直. 例8.已知:如图,AB为⊙O的直径,BC为⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,求证:CD是⊙O的切线. 分析:D在⊙O上,有点连圆心,连结DO,证明DO⊥DC即可. 证明:连结DO,∵OC∥AD ∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠DOC 而∠DAO=∠ADO∴∠DOC=∠COB,又OC=OC,DO=BO ∴△DOC≌△BOC ∴∠ODC=∠OBC, ∵BC为⊙O的切线,切点为B ∴∠OBC=90°, ∴∠ODC=90°,又D在⊙O上, ∴CD是⊙O的切线. 我们可以把圆中常用辅助线的规律总结为如下歌诀: 弦与弦心距,密切紧相连;直径对直角,圆心作半径;已知有两圆,常画连心线;. 遇到相交圆,连接公共弦;遇到相切圆,作条公切线;“有点连圆心,无点作垂线.” 切线证明法,规律记心间.
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