圆与圆的位置关系、圆的全章复习

圆与圆的位置关系、圆的全章复习

 

［学习目标］

  1. 掌握圆与圆的五种位置关系，类比于点与圆，直线与圆的位置关系，能通过两圆半径r₁，r₂及圆心距d三者的数量关系，判断两圆位置关系，或通过位置关系，判断数量关系。

  2. 在数轴上表示当d在不同位置时，两圆的位置关系。

  3. 在证明两圆的或多圆的图形时，常加的辅助线：公共弦、公切线；圆心距，连心线。

  4. 当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦。

    当两圆内切时，连心线垂直于公切线。

    当两圆外切时，连心线垂直于内公切线。

  5. 公切线是指两个圆公共的切线，如果两圆在公切线同旁则称外公切线，如果两圆在公切线两旁则称内切线。公切线上两切点间线段的长叫公切线长。

  6. 如图内公切线长（外离时）

    外公切线长（外离、外切、相交时）

    d 圆心距              R 大圆半径          r 小圆半径           R≥r

                  

                

  7. 公切线条数

    ①内含                        0条

    ②内切                              1条

    ③相交                 2条

    ④外切                              3条

    ⑤外离                              4条

  8. 圆的全章复习

    （1）圆的基础知识

    ①圆的有关概念：

    弦，弧，半圆，弓形，弓形高，等弧（隐含同圆等圆），弦心距，直径等。

    ②圆的确定

    圆心决定位置，半径决定大小，不共线的三点确定一个圆。

    注意：作图（两边中垂线找交点），外心的位置，外心到三角形各顶点距离等

    ③圆的对称性：轴对称，中心对称，旋转不变性

   （2）圆与其它图形

    <1>点与圆  三种

    <2>直线与圆

    ①一条直线与圆  三种

    ②两条直线与圆 

    ③三条直线与圆

    三角形内切圆与圆外切三角形

    三角形内心（角平分线交点）位置永远在三角形内部

    到三角形各边距离相等

    ④四条直线与圆

    圆外切四边形两组对边的和相等

   

    <3>两圆与直线

    两圆外切时连心线过内公切线切点与该切线垂直。

    两圆内切时连心线过切点，垂直于过切点的切线。

    两圆相交时，连心线垂直于公共弦，并且平分公共弦。

（3）定理

    <1>垂径定理及推论：过圆心；垂直弦；平分弦（非直径）；平分优弧；平分劣弧；知2求3。

    <2>圆心角，弦，弦心距，弧之间关系：同圆等圆中知1得3。

    <3>与圆有关的角：圆心角，圆周角，弦切角，圆内角，圆外角，圆内接四边形外角，内对角，对角

    <4>切线的判定、性质：

    ①判定：常见的证法连半径，证垂直，判断切线，

            “连垂切”

            或作垂直证d＝r

    ②性质：若一条直线满足过圆心、过切点，垂直于切线中任意两条，可得另外一条。

            常见“切连垂”

    <5>和圆有关的比例线段：

    相交弦定理及推论，切割线定理及推论，圆幂定理

（4）和圆有关的计算

    <1>求线段

    ①直径、半径

    ②垂径定理：求弦长、弦心距、拱高

    ③切线长、公切线长（外公切线长，内公切线长）

    ④直角三角形内切圆半径

    ⑤任意三角形内切圆半径与面积、周长的关系

    ⑥等边三角形内切圆半径：外接圆半径=1：2

    ⑦与圆有关的比例线段、弦长、切线长等

    <2>求角

    圆心角，圆周角，弦切角，两切线夹角，公切线夹角

（5）常见辅助线

    半径、直径、弦心距、“切连垂”、连心线、公共弦、公切线

（6）圆中常见图形

    直角三角形  等腰三角形  圆内接四边形  相似三角形

 

【典型例题】

  例1. 已知半径分别为R和r（R＞r）的两圆外切，它们的两条外公切线互相垂直，则R：r等于（    ）

    A.                          B.

    C.                             D.

    解：连结O₁A、O₂B、O₁O₂（如图所示），则O₁A⊥AB，O₂B⊥AB，O₁O₂过点P且平分∠APC，过点O₂作O₂E⊥O₁A，则O₂E∥AB

    ∴∠O₁O₂E=∠O₁PA=45°，

    ∴△O₁O₂E是等腰直角三角形。

    ∴，

    ∵，

    ∴

    ∴，

    ∴，故选C。

    点拨：本题涉及的知识点较多，要认真审题，理清思路，解决问题。

 

  例2. 如图所示，⊙O₁与⊙O₂内切于点A，并且⊙O₁的半径是⊙O₂的直径，O₁B为⊙O₁的半径，交⊙O₂于点C，AD是公切线，∠O₁AC=50°，则∠BAD=（    ）

    A. 50°                 B. 40°                 C. 25°                 D. 20°

    解：∵O₁A是⊙O₂的直径，

    ∴∠ACO₁=90°

    又∵∠O₁AC=50°

    ∴∠O₁=40°

    又∵DA是两圆的公切线，∠DAB和∠DAC分别是⊙O₁、⊙O₂的弦切角，

    ∴

    故选D。

    点拨：利用学过的知识解决两圆位置关系问题是解决本题的关键，要学以致用，温故而知新。

 

  例3. 已知两圆的半径分别为8和6，如果两圆的圆心距为14，则两圆的公切线条数有____________。

    解：由题意知两圆的圆心距等于两圆的半径之和，则两圆外切，共有3条公切线，故应填3。

 

  例4. 两圆的一条外公切线与连心线成30°的角，它们的圆心距是10cm，则外公切线长为_____________。

    解：如图所示，连结O₁A、O₂B，过点A作AC∥O₁O₂，则∠BAC=30°，AC=O₁O₂=10cm，

    在Rt△ABC中，

    ，

    故应填cm。

    点拨：公切线、两圆的半径之差（或和）和圆心距构成直角三角形，是解决这部分题的关键。

 

  例5. 已知两圆外离，圆心距为25cm，两圆的周长分别为15和，则其内公切线和连心线所夹的锐角等于_____________。

    解：如图所示，过点O₁作O₁C∥AB，交O₂B的延长线于C，

    ∵两圆的周长分别为15πcm和10πcm，

    ∴两圆的半径分别为，

    ∴，

    又∵

    ∴在Rt△O₁CO₂中，

    sin∠O₂O₁C=，

    ∴∠O₂O₁C=30°，故应填30°。

 

  例6. 如果两圆外切，切点为M，外公切线AB，切点为A、B，则∠AMB＝_________。

    解：如图所示，过点M作两圆的公切线交AB于点C，

    ∵AB是两圆的公切线，

    ∴CA=CM=CB

    ∴∠CAM=∠CMA

    ∠CBM=∠CMB，

    ∵∠CAM+∠CMA+∠CBM+∠CMB=180°

    ∴∠CMA+∠CMB=90°

    即∠AMB=90°，故填90°

    点拨：本题是一道典型题，可作为一般的结论记忆。

 

  例7. 如图所示，⊙O和⊙O'相交，且点O在⊙O'上，公切线AC、BD分别切两圆于A、B、C、D四点，求证：AB是⊙O的切线。

    证明：连结OA、OB、OC、OD，过点O作OE⊥AB于E，

    ∵AC、BD是公切线，

    ∴AC=BD

    又∵OC=OD，∠ACO=∠BDO=90°

    ∴△AOC≌△BOD，∴∠CAO=∠DBO

    ∵∠DBO=∠EAO，∴∠CAO=∠EAO

    又∵AO=AO，∠ACO=∠AEO=90°

    ∴△ACO≌△AEO，∴OE=OC

    ∴AB是⊙O的切线。

    点拨：本题利用圆心到直线的距离等于半径判定直线是圆的切线。

 

  例8. 两圆外切，两条外公切线所成的角是60°，公切线长等于，求两圆的半径。

    解：如图所示，过点A作AE∥O₁O₂，设⊙O₁和⊙O₂的半径分别为r和R。

    在Rt△ABE中，AB=

    ∠BAE=30°，AE=O₁O₂=R+r，BE=R－r，

    ∴

    解这方程组，得R=3cm，r=1cm，

    ∴两圆的半径分别为3cm和1cm。

    点拨：本题涉及的知识点较多，要注意各知识点之间的联系，正确解题。

 

  例9. 如图所示，⊙O₁与⊙O₂内切于A，过A作大圆的弦AD、AE分别交小圆于B、C，求证：AB·AE=AC·AD

    证明：过点A作两圆的外公切线AF，

    ∵∠FAB=∠ACB，

    ∠FAB=∠AED，

    ∴∠ACB=∠AED

    ∴BC∥DE，

    ∴AB：AD=AC：AE，

    即AB·AE＝AC·AD

    点拨：当两圆外切或内切时，公切线是常添的辅助线，然后利用有关的角相等，找到解题思路。

 

  例10. 如图所示，两圆内切于点C，⊙O₁的弦AB切⊙O₂于点E，CE的延长线交⊙O₁于D，求证：AE·CD＝BD·AC

    证明：过点C作两圆的公切线CF，

    则∠FCE＝∠DBC

    又∵AB是⊙O₂的切线，

    ∴∠FCE=∠AEC，

    ∴∠AEC=∠DBC，

    又∵∠A=∠D，

    ∴△AEC∽△DBC，

    ∴AE：BD=AC：CD，

    即  AE·CD=BD·AC

    点拨：作公切线，通过相似，证明结论。

 

  例11. 如图所示，半径分别为r和R的两圆⊙O₁和⊙O₂互相外切，从切点到两圆外公切线的距离为d，求证：

    证明：过点O₁作O₁E∥AB，交O₂B于E，交PC于D，

    由题意知，

    ∵PD∥O₂E，

    ∴

    ∵，

   

    ∴，

    ∴，

    ，

   

    两边同时除以dRr，得

    ，

    即

    点拨：通过引辅助线，构造相似三角形，找到证题思路

 

  例12. 如图所示，设两圆交于P、Q两点，过Q作一直线交两圆于A、B，过A、B各作所在圆的切线，设它们相交于一点M，求证A、M、B、P四点共圆。

    证明：连结PQ、PA、PB，则

    ∠MAB=∠APQ，

    ∠MBA=∠BPQ，

    ∵∠M+∠MAB+∠MBA=180°

    ∴∠M+∠APQ+∠BPQ=180°

    即∠M+∠APB=180°

    ∴A、M、B、P四点共圆。

    点拨：证明四点共圆的方法有许多种，请同学们自己总结一下。

 

  例13. 如图所示，以△ABC的一边BC为弦的圆交AB、AC于点D、E，经过A、D、E三点的圆的圆心为O，求证：AO⊥BC。

    证明：连结DE，过A作⊙O的切线AM，则AO⊥AM，∠MAD=∠AED。

    又∵四边形BCED内接于圆，

    ∴∠AED=∠B

    ∴∠MAD=∠B

    ∴AM∥BC

    ∴AO⊥BC

    点拨：本题是一个富于思考的问题，还有很多推广。例如，设N是△ABC的外心，其余条件不变，则有AN⊥DE，此时，所作切线是△ABC的外接圆上经过点A的切线。

 

【模拟试题】（答题时间：90分钟）

一、选择题（本题共60分，1-4题每题3分，5-16题每题4分）

    在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，考生要按规定要求在机读答题卡上作答，题号要对应，填涂要规范。

    （1）方程化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ）

    A. 2，0，1                          B. 2，8，1

    C. 2，8，－1               D. 2，0，－1

    （2）一元二次方程的根为

    A.

    B.

    C.

    D.

    （3）若点A（x，y）在坐标轴上，则下列式子正确的是（    ）

    A.                            B.

    C.                             D.

    （4）正比例函数的图象经过点（1，2），则k的值为（    ）

    A. 2               B. 1               C.                    D. －2

    （5）方程的两个根为，那么的值为（    ）

    A. －3                         B.

    C.                           D. 3

    （6）关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的最小整数值是（    ）

    A. －1                  B. 0               C. 1               D. 2

    （7）点P关于原点对称的点的坐标为（－3，1），则点P的坐标为（    ）

    A. （－3，1）                    B. （－3，－1）

    C. （1，－3）                    D. （3，－1）

    （8）函数的自变量x的取值范围是（    ）

    A.                     B.

    C.                 D.

    （9）直线在平面直角坐标系中大致的位置是（如图1）

图1

    （10）在Rt△ABC中，∠C=90°，若，则（    ）

    A.                    B.                    C.                    D. 3

    （11）在Rt△ABC中，∠C=90°，若，则cosA=（    ）

    A.                  B. 1               C.                 D.

    （12）下列命题中，正确命题的个数为

    ①等弧对等弦

    ②平分弦的直径垂直于这条弦

    ③直径是圆中最长的弦

    ④同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等

    A. 1               B. 2               C. 3               D. 4

    （13）如图2，⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，AE=8cm，EB=2cm，则弦CD的长为（    ）

图2

    A. 4cm                  B. 6cm                  C. 8cm                  D. 10cm

    （14）如图3，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD切⊙O于点D，∠A=30°，则∠C=（    ）

图3

    A. 40°                        B. 30°

    C. 20°                        D. 10°

    （15）如图4，⊙O中，弦AB、ED的延长线交于点C，∠C=45°，的度数为30°，则的度数为（    ）

图4

    A. 60°                        B. 75°

    C. 105°                      D. 120°

    （16）如图5，向高为a的圆柱状的水瓶中匀速注水，注满为止。下面图象中（图6）能表示出注水量v与水深h之间的函数关系的是（    ）

图5

图6

 

二、填空题（本题共12分，每小题4分）

    （1）如图7，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，∠APB=90°，OP=2，则⊙O的半径长为____________。

图7

    （2）如图8，ABCD是⊙O的内接四边形，AD是直径，∠CBE=50°，则∠COD=____________。

图8

    （3）一根弹簧的原长是12cm，它能挂的重量不能超过15kg，并且每挂重1kg，弹簧就伸长，则弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)之间的函数关系式为_____________，自变量x的取值范围是_____________。

 

三、（本题共17分，第1题5分，第2题7分，第3题5分）

    （1）计算：

    （2）用换元法解方程：

    （3）解方程组：

 

四、列方程或方程组解应用题（本题6分）

    某企业响应政府号召，为节约用水，自建污水净化站。1月份净化污水3000吨，3月份净化污水增加到3630吨，求这两个月污水净化量平均每月增长的百分率是多少？

 

五、（本题5分）

    如图9：有一位同学用一个自制的有30°角的直角三角板估测学校旗杆的高度。他将30°角的直角边水平放在高1.2m的支架CD上，使得三角板的斜边与旗杆的顶点A在一条直线上，此时量得支架到旗杆的底部的水平距离BD长为18m。

图9

    求：旗杆AB的高度（精确到0.1m，）

 

六、（本题7分）

    在平面直角坐标系xOy内，点A的坐标为（2，0），点B是正比例函数上的一点。

    （1）求出使△OAB为轴对称图形的点B的坐标；

    （2）对于（1）中所得的△OAB是否存在对称轴与y轴平行的情况，若存在，你能找到一点C，使以O、A、B、C为顶点的四边形为中心对称图形吗？若能，求出点C的坐标，写出直线AC的解析式；若不能，请你说明理由。

 

七、（本题6分）

   锐角三角形ABC中，BC=2，△ABC的面积为2，tanB、tanC是一元二次方程的两个根。

    求：m的值。

 

八、（本题7分）

    已知：如图10，AB为⊙O的直径，点D是圆上一点，点C是的中点，且DE⊥AB于E，交弦AC于F，分别延长线段ED和AB，与过点C的⊙O的切线交于点H、G。

图10

    （1）找出图中与线段CH相等的线段，并证明；

    （2）证明：AD·HE=HG·AE；

    （3）若BG=2，，求：HD的长。

【试题答案】

一、选择题（本题共60分，1-4题每题3分，5-16题每题4分）

  1. A                   2. C               3. D               4. A               5. A

  6. C                   7. D               8. D               9. B               10. A

  11. C                 12. B              13. C             14. B              15. D

  16. B

 

二、填空题（本题共12分，每小题4分）

    （1）

    （2）80°

    （3）

 

三、（本题共17分，第1题5分，第2题7分，第3题5分）

    （1）解：原式

                 

    （2）解：设，

    则原方程可化为 

    去分母得 

    解得  

    当

    解得 

    经检验是原方程的根。

    （3）

    解：由②得  ，③

    把③代入①整理得 

    解之得 

    把；

    把

    所以原方程组的解是

 

四、列方程或方程组解应用题（本题6分）

    解：设这两个月污水净化量平均增长的百分率是x

    根据题意得 

    解之得 

    但不合题意，故舍去。

    答：这两个月净化污水的量平均增长的百分率为10%

 

五、（本题5分）

    解：过C作CE⊥AB于E，

    ∴四边形CDBE是矩形

    ∵CE=BD=18，∠ACE=30°

    ∴在Rt△ACE中，

    ∵CD=BE=1.2，

    ∴

    答：旗杆AB的高度约为11.6m。

 

六、（本题7分）

    （1）解：如图1所示，符合题意的B点有四种情况。

图1

    （I）等腰三角形以点B₁为顶点，即B₁O=B₁A

    过点B₁作B₁D⊥x轴于点D，则OD=DA=1

    ∵点B₁在正比例函数的图象上，

    ∴点B₁的坐标为（1，）

    （II）等腰三角形以O为顶点，即OA=OB₂=2

    过点B₂作B₂D₁⊥x轴于点D₁，

    ∵点B₂在正比例函数的图象上，

    ∴设点B₂的坐标为（x，）

    在Rt△OB₂D₁中，

    解得

    ∴点B₂的坐标为，点B₃坐标为

    （III）等腰三角形以A为顶点，即

    过点B₄作B₄D₂⊥x轴于点D₂，

    ∵点B₄在正比例函数图象上，

    设点B₄的坐标为

    在Rt△AB₄D₂中，，

    解得（舍）

    ∴点B₄的坐标为（）

    （2）对于（1）中存在对称轴与y轴平行的情况，如图2所示，存在点C使以O、A、B、C为顶点的四边形为中心对称图形。由中心对称图形的性质可得点C的坐标为（3，）、（－1，）或（1，）。所求直线AC的解析式为或

图2

 

七、（本题6分）

    解：过A点作AD⊥BC于D

图3

    ∵BC=2，△ABC的面积为2

    ∴

    在；

    在Rt△ACD中，。

    ∵BC=2，BC=BD+CD=2，

    ∴

   

    又∵

    ∴

    ∵

    ∴

    又∵

   

    ∴舍去

    ∴

 

八、（本题7分）

    （1）解：CH=FH

    连结OC。∵HG是⊙O的切线，切点为C，

图4

    ∴∠OCA+∠HCA=90°

    又∵DE⊥AB于E，

    ∴∠CAG+∠AFE=90°

    ∵AO=CO

    ∴∠CAG=∠OCA

    ∴∠HCA=∠AFE

    又∵∠AFE=∠HFC，

    ∴∠HCA=∠HFC

    ∴CH=FH

    （2）证明：∵点C是的中点，

    ∴∠DAC=∠GAC

    又∵∠CAG=∠OCA

    ∴∠DAC=∠OCA

    ∴AD∥OC

    ∴∠COG=∠DAG

    又∵∠COG+∠G=90°，且∠G+∠H=90°

    ∴∠COG=∠H

    ∴∠DAG=∠H

    ∴△AED∽△HEG

    ∴

    即AD·HE=HG·AE

    （3）解：∵HG切⊙O于C，

    ∴

    ∴AB=4，OB=2，OG=4

    ∴在Rt△OCG中，可知∠G=30°，∠COG=60°

    ∴∠ADE=30°，连结OD，可知△ADO为等边三角形

    ∴AE=1，BE=3，∵DE⊥AB于E，AB是⊙O的直径

    ∴

    ∵△AED∽△HEG，

   

    ∴

    说明：本题只给出一种解法，其他解法相应给分。