练习题集[80]基础练习 | Math173

涤心清泉 2016-12-21

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1．(2010年北京市东城区一模)如果对任意一个三角形，只要它的三边长a,b,c都在函数f(x)的定义域内，就有f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为保三角函数，则下列函数中是保三角函数的是_______．
(1) f(x)=√x；
(2) g(x)=sinx，x∈(0,π)；
(3) h(x)=lnx，x∈[2,+∞)．

2．在△ABC中，AC=BC=√5，点D,E,F分别在边AB,BC,CA上，且AD=DB=EF=1，若→DE?→DF?2516，则→EF?→BA的取值范围_______．

3．已知正整数a1,a2,?,a2016成等比数列，公比q∈(1,2)，则a2016取最小值时，q=_______．

4．求所有的正整数x,y，使得x2+3y和y2+3x都是完全平方数．

5．函数f(x)的定义域为(0,1)，且f(x)={x,x?Q,p+1q,x=pq,p,q∈N?,(p,q)=1.

求f(x)在区间(k?1k,kk+1)上的最大值，其中k∈N?．

6．(2010年北京市朝阳区二模)已知{an}为递增数列，其前n项和为Sn，a1>1，且10Sn=(2an+1)(an+2)，n∈N?．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 是否存在m,n,k∈N?，使得2(am+an)=ak成立？若存在，写出一组符合条件的m,n,k；若不存在，请说明理由；
(3) 设bn=an?n?32，cn=2(n+3)an5n?1，若对于任意的n∈N?，不等式√5m31(1+1b1)(1+1b2)?(1+1bn)?1√cn+1+n?1?0

恒成立，求正整数m的最大值．

7．从1,2,?,100个连续的正整数中选取三个不同的数．
(1) 可以选出的等差数列共有多少个？
(2) 可以选出的等比数列共有多少个？
(3) 三个数的和为3的倍数有多少种选法？
(4) 两两之差不小于2，有多少种选法？

参考答案

1．(1)(3)．

提示　一个单调函数是保三角函数的充要条件是对任意定义域上的实数a,b,c，若a+b>c，则f(a)+f(b)>f(c)．(2)的反例为a=b=5π6，而c=π2．对于(1)，当a+b>c时，有√a+√b=√a+b+2√ab?√a+b>√c;

对于(3)，当a+b>c,a,b,c?2时，有(a?1)(b?1)?1知ab?a+b，从而有lna+lnb=ln(ab)?ln(a+b)>lnc.

2．[43,2]．

提示　可以建系处理，以D为原点，AB,DC分别为x,y轴建立空间直角坐标系，有A(?1,0),B(1,0),C(0,2)，可以设点F(m,2?2m),F(n,2n+2)，则题意有{|EF|2=(m?n)2+4(m+n)2=1,→DE?→DF=4n?4m+4?3mn?2516,

而→EF?→BA=2(m?n)，故令m?n=x,m+n=y，有x2+4y2=1,?4x?3(y2?x2)4+3916?0,

消去y得15x2?64x+36?0，解得23?x?185，而?1?x?1，所以→EF?→BA=2x∈[43,2]．

3．32．

显然q为有理数，设数列a1,a2,?,a2016为n2015a,n2014ma,?,m2015a,

其中m,n,a均为正整数，n<m<2n，且m,n互质．当a2016最小时，m=3，n=2，a=1，于是q=32．

4．当x=y时，有x2+3x是完全平方数，而(x+1)2?x2+3x<(x+2)2,

当x=1时左边不等式取到等号，此时x2+3x是完全平方数，(x,y)=(1,1)．
当x≠y时，不妨设y<x，则x2<x2+3y?x2+3x<(x+2)2,

于是x2+3y=(x+1)2,

于是3y?2x=1，进而x=3k+1，y=2k+1，其中k∈N，从而y2+3x=4k2+13k+4∈((2k+2)2,(2k+4)2),

于是4k2+13k+4=(2k+3)2,

解得k=5，因此(x,y)为(16,11)或(11,16)．
综上知，(x,y)为(1,1),(11,16),(16,11)．

5．情形一　当x是无理数时，f(x)<kk+1．

情形二　当x是有理数时，设x=pq，k?1k<pq<kk+1，所以pk?q(k?1)>0,qk?p(k+1)>0,

即pk?q(k?1)?1,qk?p(k+1)?1,

两式相加，可得p?q?2．

设p=q?i,i?2，则由k?1k<q?iq<kk+1得ki<q<(k+1)i，而q越大时，f(q?iq)=q?i+1q越大，所以取q=(k+1)i?1，从而有f(q?iq)=ki(k+1)i?1=kk+1+kk+1(k+1)i?1,

在上式中，i越小，f(q?iq)越大，所以当i=2时，有f(x)有最大值2k2k+1，此时p=2k?1，q=2k+1．

综上所述，由于当k?1时，2k2k+1>kk+1，因此所求的最大值为2k2k+1，此时x=2k?12k+1．

6．(1) 当n=1时，有10a1=(2a1+1)(a1+2),

解得a1=2．

当n?2时，有10an=(2an+1)(an+2)?(2an?1+1)(an?1+2),

整理得(an+an?1)[2(an?an?1)?5]=0,

于是an?an?1=52,

从而可得an=5n?12，n∈N?．

(2) 不存在满足条件的正整数m,n,k．用反证法证明如下．

假设存在m,n,k∈N?，使得2(am+an)=ak，则5m?1+5n?1=5k?12,

即2m+2n?k=35,

矛盾．因此不存在满足条件的正整数m,n,k．

(3) 根据题意，有bn=2n+1,cn=n+3,

于是题中不等式可以转化为43?65?87?2n+22n+1?1√2n+3?√5m31,

设不等式左边为pn，则pn+1pn=2n+42n+3?√2n+3√2n+5=√4n2+16n+164n2+16n+15>1,

于是{pn}单调递增，从而题意即√5m31?p1=43√5,

解得m?12415，于是正整数m的最大值为8．

7．(1) 考虑首项和末项的奇偶性必须相同，且首末项确定时数列确定，因此可以选出的等差数列个数为A250+A250=4900.

(2) 可以选出的等比数列必然形如m2a,mna,n2a，其中m,n,a为正整数，且m,n互质，m≠n．先考虑m<n的情形，可能的(m,n)有(1,2),(1,3),(2,3),(1,4),(3,4),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(1,6),(5,6),(1,7),(2,7),(3,7),(4,7),(5,7),(6,7),(1,8),(3,8),(5,8),(7,8),(1,9),(2,9),(4,9),(5,9),(7,9),(8,9),(1,10),(3,10),(7,10),(9,10).