Leibniz 如何想出微积分？（二）

四、差和分学：从 Pascal 三角到 Leibniz三角

在1672年春天，Leibniz 抵达巴黎，他的第一个成就是发现求和可以用求差来计算，即用减法可以求算加法。后来他曾描述他为何会想到差分以及差分的差分（即二阶差分）等等的概念，并且强调差分扮演着他的所有数学思想的主角。在逻辑中，他彻底地分析真理，发现终究可化约成两件事：定义与恒真语句 (indentical truths)。反过来，由恒真语句就可推导出丰硕的结果。他举数列为例来展示：由 A=A 或 A-A=0出发，可得

A-A + B-B + C-C + D-D + E-E = 0

即 A - (A-B) - (B-C) - (C-D) - (D-E) - E = 0

令 A-B=K, B-C=L, C-D=M, D-E=N,

则得

亦即差之和等于第一项与最后一项之差。

换言之，给一个数列 v=(vk)，考虑接续两项之间的差

vk+1-vk=uk

所成的数列 u=(uk)，叫做（右）差分数列（还有左差分，同理可讨论），那么显然有

采用登山的解释就很明白了：想象山路铺成台阶，每一阶相对于地面的高度为 v1, v2, , vn+1，而阶差高度为 u1, u2, , un，那么从甲地登到乙地共升高

另一方面这又等于 vn+1-v1，参见下图 1。

图1

例子：考虑立方数列及其各阶差分数列：

由此我们立即读出

1+7+19+37+61=125-0=125,

7+19+37+61+91=216-1=215,

6+12+18+24+30=91-1=90,

12+18+24+30=91-7=84。

Leibniz 发现这个规律，觉得非常新奇、美妙，像小孩子玩积木一样兴奋不已。进一步，他研究 Pascal 三角（1654年，又叫算术三角）。Pascal 三角是作为开方、二项式展开、排列组合与机率之用，参见[2]，Leibniz 却从中玩索出差和分的道理。下面我们列出 Pascal 三角常见的三种排法：

(I)

(II)

(III)

问题： 请说明上述 Pascal 三角的构成法。

在(II)的排列法中，斜对角在线的数相加，所得到的数恰好构成费氏数列(Fibonacci sequence)：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

这个数列含有许多美妙的性质，我们不预备讲述。

由(III)的排列法中，Leibniz 立即读出许多关于行或列求和的结果，例如

3+6+10+15 = (4-1) + (10-4) + (20-10) + (35-20) = 35-1 = 34

同理

10+20+35+56=126-5=121。

Leibniz 在巴黎遇到 Huygens 时，对 Huygens 描述他用求差来求和的结果，Huygens 立即建议他做下面富于挑战性的问题。

问题：（Huygens 问题）

求无穷级数之和

这个问题涉及无穷多项的相加，它源自计算某种赌局 (a game of chance) 的机率。

这个级数每一项的分母恰是毕氏学派「形数」(figurate numbers) 中的三角形数：

因此，级数(1)就是三角形数的倒数之和。Leibniz 立即就求得这个和：因为

所以首 n 项之和为

从而

我们在机率史的文献上查不到 Huygens 的机率问题，不过我们倒有下面相关的例子：一个袋子装有一个白球及一个黑球，从中任取一个球，若得白球就停止；若得黑球，则再填加一个黑球到袋中，变成两黑一白，再任取一球，若得白球就停止；若又得黑球，则再添加一个黑球到袋中，变成三黑一白，如此继续下去，那么第一回合得白球的机率为 ，第二回合得白球的机率为 ，第三回合得白球的机率为 , … 等等，故终究得白球的机率为

Leibniz 解决了 Huygens 问题后，进一步模仿 Pascal 三角，建构一个今日所谓的「调和三角」(harmonic triangle) 或 Leibniz 三角，一口气解决了更多求无穷级数和的问题。

调和三角是这样做成的：第一行排上调和数列，第二行依次排上第一行的前项减去后项之差，以后就按此要领做下去，结果如下：

由此调和三角可以读出

从而 Huygens 问题的答案是

另外我们也可以读出

等等。将(2)式乘以 3 就得到角锥形数的倒数之和：

将(3)式乘以4就得到

同理也可得

Descartes 说得好：

由一个例子的考察，我们可以抽取出一条规律。 
(From the consideration of an example we can form a rule.)

换言之，一个好的例子往往能够反映出一般规律，即特殊孕育出普遍，或所谓的「一叶知秋」、「见微知着」的意思。我们由上述例子归结出求和的共通模式 (pattern)：

定理 1：（差和分根本定理）

对于给定的一个数列 u=(un), n=1,2, …，如果可以找到另一个数列 v=(vn)，使得

un=vn+1-vn

那么就有

其中 且 ab。

我们引入适当的概念与记号：

定义：设 c=(cn) 为一个数列，令数列 为 （简记为 ）。

我们称 为数列 c 的（第一阶）差分，Δ 为差分算子。 叫做定和分（简称和分）。

因此，定理1 引出了两个基本问题：

(i)研究差分算子 Δ 在运算上的基本性质。

(ii)已知一个数列 u=(un)，求另一个数列 v=(vn) 使得 。

第一个问题很容易，在此从略。其次，利用(i)，第二个问题原则上也不难。在 中，我们称 v 为 u 的反差分数列或不定和分。事实上，已知数列 u=(uk), k=1,2, … 定义一个新数列 b=(bn) 如下：

则易验知 b=(bn) 满足

换言之，b=(bn) 就是 u=(un) 的一个不定和分。显然，u 的不定和分不唯一，可以无穷多个（例如(5)式再加上任意常数都还是 u 的不定和分），但是任何两个不定和分只差个常数。

对这一切作深入而有系统的研究就是差和分学的内容（包括差分方程）。差和分的学习对于微积分的了解非常有帮助，因为两者不过是离散与连续之间的类推与观照而已。离散的差和分简单明了，再连续化就得到了微积分。一般微积分教科书往往有如下的缺点：忽略差和分学，或类推与连续化处理得不好。