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数列这一块，除了基本的等差等比数列外，还有两大块内容：各种求和，各种递推。 数列的递推式，我们需要掌握的最常考的主要是以下几个： 类型一：a（n+1）=a（n）+f（n） 这个很简单，就是把a（n+1）-a（n）=f（n） 然后累加法（左边相加，右边相加）。 类型二：a（n+1）=a（n）·f（n） 这个也很简单，就是把式子变成a（n+1）/a（n）=f（n） 然后累乘。 类型三：a（n+1）=pa（n）+q 这个也很简单，a（n+1）-t=p[a（n）-t]，也就是构造a（n）-t是一个等比数列。 类型四： 这个也比较简单，就是两边取倒数，变成类型三，然后再按照类型三的方法来计算。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 前四种类型，想要数学达到及格水平必须要掌握。 后面的几种类型都是从上面的四个类型扩展延伸出来的，其实并不难理解，如果想要达到135分以上也是要掌握的。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 类型五：a（n+1）=pa（n）+q^n 这个类型是类型三的变形，将后面的常数q变成了q^n，所以我们需要先把两边都除以q^（n+1）。 变成a（n+1）/q^(n+1)=pa(n)/q^n·q+1/q 设bn=a（n）/q^n 那么b（n+1）=pb（n）/q+1/q 实际上，也就变成了类型三，利用类型三继续计算。 类型六：a（n+2）=pa（n+1）+qa（n） 这个式子其实也是类型三的变形，只不过之前是构造a（n）-t是一个等比数列，现在构造的是a（n+2）-ta（n+1）是一个等比数列。 a（n+2）-ta（n+1）=p[a（n+1）+ta（n）] 用待定系数法求出来t值。 类型七：a（n+1）=pa（n）+an+b 这个其实也是类型三的变形，只不过现在构造的是a（n+1）+x（n+1）+y=p[a（n）+xn+y]，然后利用待定系数法求x和y。 这个式子和类型三差别只不过多了一个an而已，所以构造的新数列也是多一个xn而已。 只不过后面b（n）=lga（n），b（n+1）=pb（n）+q，其实也是类型三的变形。 类型八也可以扩展一下，比如 比类型八多了一个2a（n）我们需要先2a（n）的去掉，变成a（n+1）+1=[a（n）+1]2。 然后就变成了类型八了，然后再分别取对数，lg[a(n+1)+1]=2lg[a(n)+1] 令b（n）=lg[a(n)] 所以式子就变成了b（n+1）=2b（n）。 类型九：a(n+1)+a(n)=pn+q 或 a（n+1）a（n）=p·q^n 这两种类型，我们可以构造成a（2n+1）为等差数列，后面的式子构造成a（2n+1）为等比数列。 这个类型可能大家一眼看不出来怎么回事儿，在这里给大家简单推理一下： 如果a（n）是等差数列的话，a（n）=a1+（n-1）d a（n+1）=a1+nd。 我们知道等差数列的通项就是pn+q，其实q就是a1，p就是（n-1）。 那么a（n+1）+a（n）=2a1+（2n-1）d=pn+q 其实也是一个等差数列。 a（2n）的通项就是2a1+（2n-1）d，所以a（n+1）+a（n）可以看成a（2n）。 同样a（n+1）a（n）=p·q^n 可以看成a（2n）=a（n+1）a（n）是等比数列。 类型九可以再扩展一下：a(n+1)-a(n)=pn+q a（n+1）/a（n）=pn+q 其实也就是类型一和类型二。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 还有需要特征根方程来处理的递推数列，在这里先不给大家发上来了，后面专门一篇文章为大家介绍特征根方程。 由于篇幅有限，并没有给大家举具体的例子，大家可以加我微信，我给大家发一篇更详细的文章，里面有具体的一些例子。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 赵老师（微信：18254638393）专注高考数学研究，对每一类题都会总结的比较到位。 另外对目前最火的思维导图高效学习法研究比较深，对于基础知识差的学生有奇效。 曾帮助一个十几分学生，在最后不到二十天时间，提升到高考时的97分。 如果您孩子数学成绩现在还在及格线以下，可以加我微信号，试一下我们的网络直播课程的效果。 |
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