关于立体角，续四

 

2.2空间区域的类型

由上一节已经可以看到，空间的区域有几种不同的类型，列入表5中。

表5：空间区域的类型

区域类型	所指范围	在无限大球面上的投影等特征	边界	代号
三维无限区域	全空间	有立体角Ω=4π	中心点或任一直线	∞3
	全空间的一定比例	有立体角 Ω=α<4π	1至多个互不平行平面或曲面	∞3'
二维无限一维有限区域	具有有限厚度的 无限大空间区域	所占据的立体角及体积比例为零	2个平行平面	∞2
一维无限二维有限区域	具有有限截面积的 无限长空间区域	所占据的立体角及体积比例为零	3个以上平面或曲面，其3条以上交直线互相平行，	∞1
三维有限区域	具有有限体积的多面体、椭球、三维环等等	(所占据的体积比例为零)	多个平面或闭合曲面	∞0

由表5所述可以形象地得出无穷大的阶的几何解释，即就体积而言，有如下一段绕口令：

代号为∞1的区域是∞0区域的∞倍，∞2区域又是∞1区域的∞倍，∞3 或∞3’区域又是∞2区域的∞倍。如果说∞1是对于∞0的1阶∞，那么∞2、∞3或∞3’就分别是对于∞0的2、3阶∞。

2.3锥角(立体角)的边界

立体角通常由锥角所限定。这里的锥角是指具有立体角的∞3'型三维无限区域，锥角的边界是无数条连续相邻的射线所构成的“射面”，由锥角的顶点，即所有这些射线的共同端点出发，无弯曲地通向无穷远处。

以顶点为球心，以这些射线为法线作任意球面，则它与锥角边界面的交线呈闭合曲线。而锥角在该闭合曲线内球面上投影区域的面积，占该球面总面积的比例的大小，就确定了该锥面的立体角的大小，因此立体角本质上是一个比值，和平面角一样，没有量纲。

2.3.1平面边界的锥角----多面角

锥角的边界面可以是3个以上平面(棱锥)，或1个以上锥面(圆锥或椭圆锥等特殊曲面)。当其边界全由平面构成，不含锥面时，则称为多面角。多面角立体角的求法见“§3多面角----球面三角部分内容简介” 。

除锥角外，球面二角形也限定两个立体角。也可以把球面二角形视为最简单的多面角。注意：二面角不等于球面二角形所张的立体角，而其数值是后者的1/2，例如，作为其特例，当球面二角形所张的二面角达到2πrad时，它所占据的立体角就是全空间，4πsr。一般地，若该二面角为θrad，则其所占据的立体角为

Ω=2θsr                            2.3.1

以后除非特别指明，类似式中立体角的单位均为sr，省去不写。

2.3.2曲面边界的锥角

即，锥角的边界为圆锥或椭圆锥等；先看圆锥面的情况，设圆锥所张的平面角为θ，参考球面半径为R，则圆锥所对球冠面积=2πr2(1-cos(θ/2)),根据球面度的定义，可知该圆锥所张立体角为

Ω=2π(1-cos(θ/2))                    2.3.2

椭圆锥角情况类似。

表6：不同类型立体角的计算公式

立体角类型	边界	特征	公式，Ω=
球面二角形	2个平面	二面角为θ	2θ
三面角	3个平面	二面角为α，β，γ	α+β+γ-π
推广：多面角	n个平面		(n-2)个三面角之和
椭圆锥角	椭圆锥	半长轴a，半短轴b
特例：圆锥角	圆锥	圆锥所张平面角为θ	2π(1-cos(θ/2))
其他	复杂的、组合的		可分区域及用积分求