自然数平方和公式是如何推导的？

大家都知道自然数前n项和公式：1 2 ... n=n(n 1)/2。
它的推导方法很简单，就是利用所谓的倒序相加法（据传德国大数学家高斯在其读小学的时候就已经独自想出这一方法）。
令Sn=1 2 3 ... (n-2) (n-1) n
则Sn=n (n-2) (n-1) ... 3 2 1
所以2Sn=(1 n) [2 (n-1)] [3 (n-2)] ... [(n-2) 3] [(n-1) 2] (n 1) (*)
注意到1 n=2 (n-1)=3 (n-2)=...=(n-2) 3=(n-1) 2=n 1
也就是说（*）式右边每一项均等于n 1，一共有n项，因此有2Sn=n(n 1)，所以Sn=n(n 1)/2。
即：1 2 ... n=n(n 1)/2。
但是对于自然数前n项的平方和公式，恐怕很多朋友就不是很清楚了，现在推导如下。
首先回顾一个重要公式，两个数的和的立方展开式
(a b)^3=a^3 3*(a^2)*b 3*a*(b^2) b^3 所以：(n 1)^3=n^3 3*n^2 3*n 1
2^3=(1 1)^3=1^3 3*1^2 3*1 1
3^3=(2 1)^3=2^3 3*2^2 3*2 1
4^3=(3 1)^3=3^3 3*3^2 3*3 1
......
(n 1)^3=n^3 3*n^2 3*n 1
等式左右两边相加得，消掉相同的立方项得：
(n 1)^3=1^3 3*(1^2 2^2 ... n^2) 3*(1 2 ... n) n
令Sn=1^2 2^2 ... n^2，则
(n 1)^3=1 3Sn 3n(n 1)/2 n
化简后易得Sn=n(n 1)(2n 1)/6
即：1^2 2^2 ... n^2=n(n 1)(2n 1)/6
顺便说一句，利用同样的方法还可以得出
1^3 2^3 ... n^3=n^2*(n 1)^2/4=[n(n 1)/2]^2=(1 2 ... n)^2
这是一个非常有趣的结论，大家可以自己尝试去证明一下！