我们知道以下前n项自然数平方和的计算公式: 有很多关于这个公式的证明方法,比如数学归纳法、待定系数法、裂项相消法等。今天介绍两个数形结合的方法。 方法一我们知道前n项自然数的和 于是 这是巧合吗? 把左边平方和拆开,乘法拆成加法,写成 第一行1个数,第二行2个数,第三行3个数,...,第n行n个数,这样一共(1+2+3+...+n)=n(n+1)/2 个数相加。 简记为一张三角形图: 逆时针旋转120°,得到 再逆时针旋转120°,又得到 对上面三个三角形,相同位置处的三个数对应相加,其和恰为定值(2n+1),即: 于是 方法二立体的看,平方和就是下面所有方块的体积和: 堆起来,就是 类似地,取三堆相同的 然后再堆起来 最上面一层的方块,从中间切开,拼到缺的那部分,就得到一个三边分别为n+1/2,n,n+1的长方体: 于是总体积 当然,第二种方法也可以取6堆,直接拼成一个三边分别为2n+1,n,n+1的长方体。 殊途同归。 最后附赠一个自然数立方和的图解: 来自B站视频ThinkTwice |
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