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图解自然数的平方和公式

 昵称32937624 2018-12-26

我们知道以下前n项自然数平方和的计算公式:

图解自然数的平方和公式

有很多关于这个公式的证明方法,比如数学归纳法、待定系数法、裂项相消法等。今天介绍两个数形结合的方法。

方法一

我们知道前n项自然数的和

图解自然数的平方和公式

于是

图解自然数的平方和公式

这是巧合吗?

把左边平方和拆开,乘法拆成加法,写成

图解自然数的平方和公式

第一行1个数,第二行2个数,第三行3个数,...,第n行n个数,这样一共(1+2+3+...+n)=n(n+1)/2 个数相加。

简记为一张三角形图:

图解自然数的平方和公式

逆时针旋转120°,得到

图解自然数的平方和公式

再逆时针旋转120°,又得到

图解自然数的平方和公式

对上面三个三角形,相同位置处的三个数对应相加,其和恰为定值(2n+1),即:

图解自然数的平方和公式

于是

图解自然数的平方和公式

方法二

立体的看,平方和就是下面所有方块的体积和:

图解自然数的平方和公式

堆起来,就是

图解自然数的平方和公式

类似地,取三堆相同的

图解自然数的平方和公式

然后再堆起来

图解自然数的平方和公式

最上面一层的方块,从中间切开,拼到缺的那部分,就得到一个三边分别为n+1/2,n,n+1的长方体:

图解自然数的平方和公式

于是总体积

图解自然数的平方和公式

当然,第二种方法也可以取6堆,直接拼成一个三边分别为2n+1,n,n+1的长方体。

殊途同归。

最后附赠一个自然数立方和的图解:

图解自然数的平方和公式

来自B站视频ThinkTwice

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