(2014·南通)如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,E为AB上一点,AE=1,M为射线AD上一动点,AM=a(a为大于0的常数),直线EM与直线CD交于点F,过点M作MG⊥EM,交直线BC于点G.
(1)若M为边AD中点,求证△EFG是等腰三角形; (2)若点G与点C重合,求线段MG的长; (3)请用含a的代数式表示△EFG的面积S,并指出S的最小整数值. 【考点】四边形综合题.
【专题】几何综合题;压轴题.
【分析】(1)利用△MAE≌△MDF,求出EM=FM,再由MG⊥EM,得出EG=FG,所以△EFG是等腰三角形;
(2)利用勾股定理EM2=AE2+AM2,EC2=BE2+BC2,得出CM2=EC2-EM2,利用线段关系求出CM.再△MAE∽△CDM, 求出a的值,再求出CM. (3)①当点M在AD上时,②:①当点M在AD的延长线上时,作MN⊥BC,交BC于点N,先求出EM,再利用△MAE∽△MDF求出FM,得到EF的值,再由△MNG∽△MAE得出MG的长度,然后用含a的代数式表示△EFG的面积S,指出S的最小整数值. 【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠MDF=90°, ∵M为边AD中点, ∴MA=MD 在△MAE和△MDF中,
∴△MAE≌△MDF(ASA), ∴EM=FM, 又∵MG⊥EM, ∴EG=FG, ∴△EFG是等腰三角形; (2)解:如图1, ∵AB=3,AD=4,AE=1,AM=a ∴BE=AB-AE=3-1=2,BC=AD=4, ∴EM2=AE2+AM2,EC2=BE2+BC2, ∴EM2=1+a2,EC2=4+16=20, ∵CM2=EC2-EM2, ∴CM2=20-1-a2=19-a2, ∴CM=
∵AB∥CD, ∴∠AEM=∠MFD, 又∵∠MCD+∠MFD=90°,∠AME+∠AEM=90°, ∴∠AME=∠MCD, ∵∠MAE=∠CDM=90°, ∴△MAE∽△CDM, ∴
解得a=1或3, 代入CM=
得CM=3
(3)解:①当点M在AD上时,如图2,作MN⊥BC,交BC于点N, ∵AB=3,AD=4,AE=1,AM=a ∴EM=
∵∠A=∠MDF=90°,∠AME=∠DMF, ∴△MAE∽△MDF ∴
∴
∴FM=
∴EF=EM+FM=
∵AD∥BC, ∴∠MGN=∠DMG, ∵∠AME+∠AEM=90°,∠AME+∠DMG=90°, ∴∠AME=∠DMG, ∴∠MGN=∠AEM, ∵∠MNG=∠MAE=90°, ∴△MNG∽△MAE ∴
∴
∴MG=
∴S=
即S=
当a=
②当点M在AD的延长线上时,如图3,作MN⊥BC,交BC延长线于点N, ∵AB=3,AD=4,AE=1,AM=a ∴EM=
∵DC∥AB, ∴△MAE∽△MDF ∴
∴
∴FM=
∴EF=EM-FM=
∵∠AME+∠EMN=90°,∠NMG+∠EMN=90°, ∴∠AME=∠NMG, ∵∠MNG=∠MAE=90°, ∴△MNG∽△MAE ∴
∴
∴MG=
∴S=
即S=
当a>4时,S没有整数值. 综上所述当a=
【点评】本题主要考查了四边形的综合题,解题的关键是利用三角形相似求出线段的长度.
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