裂项相消之王

是当之无愧的裂项相消的祖先。而本文介绍的裂项相消之王体现在裂项相消运用的综合性，技巧性强，堪称裂项相消的集大成者。

既然是王者，轻易不露神秘面纱，让我们一点一点的来揭开：

我们不难验证这么一个等式：

更进一步的有

取C=B+d

而这不正是完成了一种裂项相消吗？

整理一下就是：

老子有云：一生二，二生三，三生万物。我们不难发现对于“三”

不难推出

好，下面我们把结论推广到“万物”：

数列{a_n}是首项为a，公差为d的等差数列，求数列{sina_n}的前n项和，

即sina+sin(a+d)+…+sin(a+(n-1)d)=?

这是用正弦函数和等差数列复合得到的新数列，这里推导它的一般求和公式。受前面的启发，我们容易想到：

我们简单验证下这个公式，特别地，a=1,d=1，n=5时，

计算机操作得，sin1+sin2+sin3+sin4+sin50.17616

最后，隆重推出这两个裂项相消之王：

它们分别是姐妹俩：

它们的裂项相消过程处处巧借东风，充满构造，架桥铺路，把本来没有裂项相消关系的式子硬是拆成了裂项相消。被评为裂项相消之王。

正是对它的研究让我开始有进一步研究的意向：是不是任意一个有通项的数列的求和都可以架桥铺路成裂项相消的形式？只不过有的时候，拆的联系可能不好观察，我想能不能找到一种比较一般地方法。

再比如大家常见的等比数列和等差数列之积，其实就可以直接裂项：

我私下里已经完成了证明：对于任意公差和公比的等差数列和等比数列通项之积得到的数列求和都可以裂项，其证明思路或许可以作为研究一般数列裂项相消的一个启示：

这里给出一个等比数列公比为3时的一个寻找裂项的过程，充分运用了待定系数法，一般情况原理一致：

简单地说这里证明的原理是对于任意的一个数列{a_n}，则数列{a_n-a_n-1}一定可列项相消，所以对于数列bn求和，只要bn=a_n-a_n-1,,，这时就把b_n拆开了。

 

好了，今天就介绍到这里，有兴趣的读者，可以尝试对cosa+cos(a+d)+…+cos(a+(n-1)d)的求和公式进行推导。

文章末了，加入一位读者的留言，我认为很有启发意义。如果把数列求和类比为积分，构造裂项相消的数列就类似于求原函数，F（b）-F(a)=(F(b)-F(b-d))+(F(b-d)-F(b-2d)+…+（F（b-(n-1）d）-F（a）)

因此，只要求出原函数就可以裂项。