趣味数学：神奇的“缺8数

自然数12345679被称为“缺8数”。

清一色：12345679×9的倍数

　　12345679×9＝111111111

　　12345679×18＝222222222

　　12345679×27＝333333333

　　12345679×36＝444444444

    12345679×45＝555555555

　　12345679×54＝666666666

　　12345679×63＝777777777

　　12345679×72＝888888888　

　　12345679×81＝999999999

三位一体：12345679×3的倍数

　　12345679×12＝148148148

　　12345679×15＝185185185

　　12345679×33＝407407407

　　12345679×57＝703703703

　　12345679×78＝962962962

轮流休息：当乘数不是9或3的倍数时，此时虽然没有清一色或三位一体的现象，但仍可以看到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同，缺少1个数字，而且存在着明确的规律。另外，在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。例如乘数在区间10，17的情况（其中12和15因是3的倍数，予以排除）乘数在19，26及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，既不多也不少，实在有趣。

　　12345679×10＝123456790（缺8）

　　12345679×11＝135802469（缺7）

　　12345679×13＝160493827（缺5）

　　12345679×14＝172839506（缺4）

　　12345679×16＝197530864（缺2）

　　12345679×17＝209876543（缺1）

一以贯之：当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在，真是“吾道一以贯之”。例如：

    乘数为9的倍数　　

    12345679×243＝2999999997

　　只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现“清一色”。

　　乘数为3的倍数，但不是9的倍数

　　12345679×84＝1037037036

　　只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又出现“三位一体”。

　　乘数为3K＋1或3K＋2型

　　12345679×98＝1209876542

　　表面上看来，乘积中出现雷同的2，但只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后，所得数为209876543，是“缺1”数，仍是轮流休息。

走马灯：当缺8数乘以19时，其乘数将是234567901，像走马灯一样，原先居第二位的数2却成了开路先锋。例如：

　　12345679×19＝234567901

　　12345679×28＝345679012

　　12345679×37＝456790123

　　深入的研究显示，当乘数为一个公差等于9的算术级数时，出现“走马灯”的现象。例如：

　　12345679×8＝98765432

　　12345679×17＝209876543

　　12345679×26＝320987654

　　12345679×35＝432098765

回文结对，携手同行：缺8数的精细结构引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到：

　　12345679×4＝49382716

　　12345679×5＝61728395

　　前一式的数颠倒过来读，正好就是后一式的积数。（虽有微小的差异，即5代以4，而根据“轮休学说”，这正是题中应有之义）

　　这样的“回文结对，携手并进”现象，对13、14、22、23、31、32、40、41等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于9）也应如此。例如：

　　12345679×22＝271604938

　　12345679×23＝283950617

　　前一式的数颠倒过来读，正好是后一式的积数。（后一式的2移到后面，并5代以4）

追本求源：缺8数12345679实际上与循环小数是一根藤上的瓜，因为：

　　1/81＝0.012345679012345679012345679……，缺8数和1/81的循环节有关。

　　在以上小数中，为什么别的数码都不缺，而唯独缺少8呢？

　　我们看到，1/81＝1/9×1/9，把1/9化成循环小数，其循环节只有一位，即1/9＝0.111111111……

　　1/9×1/9，即无穷个1的自乘。不妨先从有限个1的平方来看：

　　很明显，11的平方＝121，111的平方＝12321，……，直到111111111的平方＝12345678987654321。

　　但现在是无穷个1的平方，长长的队伍看不到尽头，怎么办呢？

    利用数学归纳法，不难证明，在所有的层次，8都被一一跳过。

　　那么，缺8数乘以9的倍数得到“清一色”就很好理解了，因为：

　　1/81×9＝1/9＝0.111111111……

　　缺8数乘以3的倍数得到“三位一体”也不难理解，因为：

　　1/81×3＝1/27＝0.037037037……，一开始就出现了三位的循环节。

　　缺8数乘以公差为9的等差数列时相当于在原有基础上每位数加1，自然就出现“走马灯”了。

　　循环小数与循环群、周期现象的研究方兴未艾，缺8数已引起人们的浓厚兴趣与密切关注。由于计算机科学的蓬勃发展，人们越来越不满足于泛泛的几条性质，而更着眼于探索其精微的结构。

八进制和十六进制的缺8数：　　也许有人以为缺八数是10进制下的特有情况，但事实是，在8进制和16进制下也有类似的数字出现。

　　8进制下的缺8数为：123457

　　123457×7=1111111

　　在8进制下，7的2倍不是14，而是16

　　123457×16=2222222

　　123457×25=3333333等等

　　10进制中缺8数关于乘数3的性质是由关于乘数9的性质衍生而来的，在8进制中没有类似的性质。

　　16进制中缺8数为：123456789abcdf

　　123456789abcdf×f=111111111111111

　　如前所述，缺8数的出现与循环小数有密切的联系。

　　在任何一种进制中，1除以最大的个位数，得到的都是0.1111...无限循环的小数，缺8数的全部性质理论上应该都能由此推出。

　　可以认为，缺8数的性质是由进制的规则决定的，是进制性质的反应。