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车轮在地上旋转一圈的过程中，车轮圆周上的某一点划过的曲线就叫做“旋轮线”。在数学和物理中，旋轮线都有着非常重要而优美的性质。比如说，一段旋轮线下方的面积恰好是这个圆的面积的三倍。这个结论最早是由伽利略发现的。不过，在没有微积分的时代，计算曲线下方的面积几乎是一件不可能完成的任务。伽利略是如何求出旋轮线下方的面积的呢？他的方法简单得实在是出人意料：它在金属板上切出旋轮线的形状，拿到秤上称了称，发现重量正好是对应的圆形金属片的3倍。在试遍了各种数学方法却都以失败告终之后，伽利略果断地耍起了流氓，用物理实验的方法测出了图形的面积。
【小学教材也在耍流氓---悲剧的小明】 有个敢于质疑的同学小明就疑问了?实验不都有误差的吗,为什么一定是3,而不是3.1,2.9,3.0001呢,因为3看着整齐吗? 或者会不会是π啊,3.1415....,π也很有可能啊,偏差一点就是π了啊,而且圆柱,圆锥都和圆有关,和π关系也很大啊,会不会真是π啊? 但是如果小明提出了自己的疑问,也许回得到一句'小明你又来捣乱了!小明你给我滚滚滚.......'的悲剧结局,想来真是悲剧啊...... 就这么一个简单的可能带有误差的实验,就能得出这么严格的结论?你服吗?不管你服不服,反正我是不服....... 所以才需要严格论证,数学是需要严密性的,不能这么耍流氓.不好意思,我可从来没听说过数学是一门以实验为基础的科学,实验顶多只是辅助验证, 不能用来证明,否则就是耍流氓了.不废话了,开证吧.............
【几何证明--反正我是没有看下去的欲望】 (出处:邵百成--圆锥体积,圆柱体积之间关系的几何论证) 看看这几何证明,估计大部分的人,看了这辅助线,结构构造都没有继续看下去的欲望了吧。如果一个东西用了很多意想不到的技巧,搞得非常复杂,玄之又玄,相信除了部分专业人士,大部分人都是望而却步的,毕竟这玩意估计看也看不懂, 废了九牛二虎之力看懂了,对自己也没什么帮助,马上忘个精光,将来永远用不上........还没开始看就已经失去了进一步领略数学之美的兴趣. 那么有没有简单,自然一点,很好理解的,又是严格的证明呢?当然有,下面有请微积分出场为大家解答............
【微积分的伟大思想】 大千世界,繁杂异常,作为其中的人类,我们的工具,精力有限,只能处理一部分简单的东西.比如我们只能解4次及以下的一元n次方程,只能解很少的某几个固定类型的微分方程.........,而对于面积体积,,我们一开始只能计算矩形,三角形,梯形等简单线段构成的简单图形面积,对于一大波曲线型的,是无能为力的,只能望洋兴叹.但人类总得进步啊,社会总的发展啊,问题总得解决吧,你看或不看,问题就在哪里,不灭不完......
经过了漫长的摸索,人类终于想到了解决的办法----想办法化为已知的情形来求解.我们不是就知道直线的情况吗,那好,把曲线分割为直线来近似求解啊.什么,你说有误差?别担心,有高端霸气的夹逼定理护航,没问题的.只要分的足够小了,曲线也可以近似为直线来出来,最后把小份的结果累积起来就解决了问题.把曲的分解成小的直的,以直代曲的过程就是微分的思想,把小的直的结果累积起来的过程就是积分的思想,此就是所谓的微积分思想也,化曲为直,把未知化为已知,真是化腐朽为神奇的妙着，真是太伟大了！
【基本思想--超简单有木有】 如果是微积分来解决这个问题,那就太简单了. 基本思想,把圆锥分成n等分,把每一小片都看成是一个小圆柱 然后把每个小圆柱的体积相加,再对n取极限,就可以得到圆锥的体积公式
【核心推导过程】 如图所示，设DE是第i个圆柱体的半径，则由三角形相似关系
看吧果然就是1/3,这才是毫无疑问的令人信服的解释 称重,倒水,装沙子啥的都是耍流氓...........
【再次膜拜伟大的微积分思想】 神雕侠侣中剑魔独孤求败的第三把武器：「重剑无锋，大巧不工。四十岁前恃之横行天下。」“重剑无锋”指的是笨重的、没有锋刃、很重的剑，即使它没有开刃，并不锋利，但是使用它的人有极大的力量，也是可以有极大的杀伤力。“大巧不工”指的是没有经过精心打造，让其自然。比喻大智慧实际上并不是我们平时所理解的灵巧的设计，计算。其实其所指的道理就是顺其自然。
微积分的这种解决问题的思路正是重剑无锋,大巧不工的典范,没有什么花里胡哨,玄之又玄的花招,一招一式看似普普通通平淡无奇,然而却是最自然最实用的大招.在这个圆锥问题中,没有做任何多余的辅助线,只是一个简单的一个分解,近似,累积,求极限,就完成了问题的解答,而且这种思路对其他的函数图像求面积,几何面积,体积等等一大波问题也有着同样的处理,思路解法几乎都一致,一通全通,一了百了,真有一劳永逸,稳赚不赔的快感.这才是数学的魅力,真正的数学之美......................
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