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有理数叫板无理数的后果？理想很丰满，现实很骨感...... 【轻松一刻】 一天一闲得蛋疼的人抓来一个工程师、一个物理学家和一个数学家，把他们分别关进相同的屋子里一天，并且给了他们同样多的油漆，要求他们用油漆涂满屋内墙壁。一天之后他回来检查，工程师用完油漆涂了大半，说：“这是我能涂的最多的了。”物理学家更本没有动油漆，说：“我计算过了，根本不可能涂满，所以我索性不涂了。”但是在数学家的房间，他发现数学家把房间涂满了，但油漆桶里的油漆一滴未少，他很惊讶问数学家怎么做到的，数学家说：“我涂了所有有理点。” （话说如果你连笑点都get不到，那真应该好好读读这篇文章了）
【有理数，无理数名称由来】 从一开始接触有理数这一概念时，就觉得“有理数”这一名称不免叫人费解,有理数并不比别的数更“有道理”，为什么叫有理数呢？。事实上,这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来,在英语中是rational number,而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作,依据日语中的翻译方法,以讹传讹,把它译成了“有理数”。但是,这个词来源于古希腊,其英文词根为ratio,就是比率的意思（这里的词根是英语中的,希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁,就是整数的“比”。与之相对,“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数,而并非没有道理。所以实际上有理数应该是“可比数”，无理数应该是“非可比数”。
【有理数的特点】 有理数是用整数相除得来的，所以具有稠密性，也就是说任意两个数之间，肯定存在着无穷多个有理数。听起来很牛逼啊，感觉有理数已经很多了啊，那么有理数到底有多少，和无理数相比呢，有理数叫板无理数是个什么结果呢？
【说说无理数】 以前的人们因为时代限制，曾经以为所有的数都是有理数，即“万物皆数”。后面发现了第一个无理数“根号2”，打破了这个美好的假设。毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯还因此丧生，真是科学史上的悲剧。随着人们的认识不断进步，越来越多的无理数被发现了，至少对于任意素数p,“根号p”总是无理数的，这个不难证明，和根号2的证明差不多。那么至少从素数无限（这个证明也很有趣，值得一看）来看，无理数也是有无穷多个的。数无非无理数，有理数，好了，现在两个都是无限个？难免让人心生遐想，有理数pk无理数，到底谁多呢？是骡子是马，拉出来溜溜，结果自然就知道了，马上揭晓......
【可列集】 如果一个无限集中的元素可以按某种规律排列成一个序列，则称其为可列集。就是说对于一个集合S，如果存在S中的一个排列a1,a2....使得对于任意的S中的元素，均可在这个排列中找到，则称S是可列集
【可列数集的“长度”】 我们知道区间[0,1]的长度是1，也就是说所有属于[0,1]的元素组成的集合的长度是1，那么一般的集合的元素组成的“长度”是多少？之所以只用[0,1]作为样例说明，一是因为这个比较形象，方便理解，二是[0,1]中的实数其实是可以和整个R上的实数一一对应的（细节参考实变函数知识），讨论了 [0,1]上的性质，R上的也就确定了。
我们可以这样来计算，把每个数赋予一个小区间，然后把每个小区间的长度加起来得到的长度作为集合的“长度”的一种度量，显然集合真正的长度应该小于这些小区间的长度之和，毕竟一个点的长度是0，肯定不会超过一个区间的长度。 设可列集S的一个排列是a1,a2......an....... 给每个数ai赋予一个小区间(bi,ci),对于任意ε>0 （就一个等比数列求和然后取了一下极限而已，so easy） 因为ε是任意的，要多小可以有多小，所以L只能是0 所以S集合的“长度”为0，即任意可列集的“长度”为0
【有理数集是可列集】 如图所示，按照这种规律，可以得出正有理数是可列的，则[0,1]之间的有理数是可数的
【无理数真牛逼】 好了既然[0,1]之间的有理数长度是0，且[0,1]的长度是1，且数只有有理数，无理数 那么就可以得出结论：[0,1]中的无理数的长度是1-0=1 得出来的赠送结论：无理数是不可列的（否则长度不可能为1），所以无理数比有理数多得多，二者完全不是一个数量级的，与无理数比起来，有理数几乎毫无存在感.......
【细思极恐】 本以为有理数有稠密性，已经那么多了，生活中随处可见的2017，0326，2012，9527，啥的都是有理数，只有在数学中才碰到几个无理数”根号2”，ln2，e,π啥的。感觉有理数应该挺多的吧，和无理数比起来就算比不过也不至于差多少吧，毕竟有理数的量是有目共睹的。万万没想到，不比不知道一比吓一跳，居然被爆成渣渣都不剩了。从刚开始的“万物皆有理数”般的荣耀，有点“普天之下莫非王土”的舍我其谁的骄傲，到后面被分割出来一部分，但也至少还有“稠密性”护体，不失风范。本想“讨伐征服”初出茅庐的小牛犊般的无理数叛军，没想到两军对垒，真刀真枪一pk，居然一败涂地，几乎立锥之地，可悲可叹。
生活中随意接触到的数字，在整个实数世界中居然几乎不存在，细思极恐，还有几悲凉的气息。好比我们从小生活的地球，天天看到，天天接触，感觉已经很大很大了。结果学了宇宙学知识才知道，仅仅是沧海一粟。你所看到的，也许真的只是冰山一角，不看到全貌，不能想当然妄下结论，否则必被现实无情的打击。所谓的理想很丰满，现实很骨感，也是有一定道理的。
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