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线段和差的最值问题，常见的有两类： 第一类问题是“两点之间，线段最短”． 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）． 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）． 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′． 解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题． 第二类问题是“两点之间，线段最短”结合“垂线段最短”． 如图4，正方形ABCD的边长为4，AE平分∠BAC交BC于E．点P在AE上，点Q在AB上，那么△BPQ周长的最小值是多少呢？ 如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE是河流，但是点Q不确定啊． 第一步，应用“两点之间，线段最短”．如图5，设点B关于“河流AE”的对称点为F，那么此刻PF＋PQ的最小值是线段FQ． 第二步，应用“垂线段最短”．如图6，在点Q运动过程中，FQ的最小值是垂线段FH． 这样，因为点B和河流是确定的，所以点F是确定的，于是垂线段FH也是确定的． 经典中考题（湖南省中考第26题）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1, 0)、B(2, 0)、C(0, 2)三点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图1，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标； （3）如图2，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 思路点拨1．设交点式求抛物线的解析式比较简便． 2．连结OP，把四边形ABPC的面积分割为三个三角形的面积和． 3．第（3）题先用几何说理确定点G的位置，再用代数计算求解点G的坐标． 解析 考点延伸第（2）题求四边形ABPC的面积，也可以连结BC（如图8）． 因为△ABC的面积是定值，因此当△PCB的面积最大时，四边形ABPC的面积也最大． 过点P作x轴的垂线，交CB于F． 因为△PCF与△PBF有公共底边PF，高的和等于C、B两点间的水平距离，所以当PF最大时，△PCB的面积最大． 设点P(x,－x2＋x＋2)，F(x,－x＋2)，那么PF＝－x2＋2x． 当x＝1时，PF最大．此时P(1, 2)． 满世界找好老师，不如找聚慧狮公益教育（国内顶级名师聚合，北京/黄冈顶级名师团队强强联手），资料提供、答疑社区、同步辅导天天有。加微信公众号：jhsedu，愿我们一起成长！ |
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