3921,,托密勒定理

托密勒定理：圆的内接四边形对边的乘积之和等于对角线的乘积．


　　在圆内接四边形中，两条对角线长度的积等于它的两组对边乘积的和，即

　　AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．

　　证明：过C作CE交BD于E，使∠ACD＝∠BCE．


　　又∵∠DAC＝∠CBE，∴△ACD∽△BCE．

　　∴AD/BE＝AC/BC，则BE·AC＝AD·BC①．

　　又∵∠ACB＝∠DCE，∠BDC＝∠BAC，

　　∴△ACB∽△DCE．

　　∴DC/AC＝DE/AB，则AC·DE＝AB·DC②．

　　①＋②得 AC（BE＋DE）＝AB·CD＋AD·BC，

　　即AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．