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练习： 1．（2016秋洪山区期中考试）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D在AB上，AD＝AC，BE⊥直线CD于E （1）求∠BCD的度数； （2）求证：CD＝2BE； （3）若点O是AB的中点，请直接写出三条线段CB、BD、CO之间的数量关系． 2．（2017秋硚口区期中考试）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，点E与点C关于直线AD对称，CE与AD、AB分别交于点F、G，连接BE、BF、GD，求证： （1）△BEF为等腰直角三角形； （2）∠ADC＝∠BDG． 答案： 1．【解答】解：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB， ∴∠A＝∠CBA＝45°， ∵AD＝AC， ∴∠ACD＝67.5°， ∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝22.5°； （2）作AH⊥CD于H，如图： ∵BE⊥直线CD于E，AC＝AD， ∴CD＝2CH，∠BEC＝∠AHC＝90°， ∵∠BCE+∠DCA＝∠HAC+∠DCA＝90°， ∴∠BCE＝∠CAH， 在△CBE与△ACH中，∠BCE＝∠CAH，∠BEC＝∠AHC＝90°，BC=AC ∴△CBE≌△ACH（AAS）， ∴CH＝BE， 即CD＝2CH＝2BE； （3）如图， 在Rt△ACB中，∵AO＝OB， ∴AB＝2OC， ∵BD＝AB﹣AD，AB＝2CO，AD＝AC＝BC， ∴BD＝2CO﹣BC． 2．【解答】证明：（1）如图1，连接DE， ∵点E与点C关于直线AD对称， ∴AD垂直平分EC， ∴CF＝EF，CD＝DE， ∵D为BC的中点， ∴CD＝ED＝BD， ∴∠CEB＝90°， 即△BEF是直角三角形， ∵AD垂直平分CE， ∴∠AFC＝∠BEC＝∠ACD＝90°， ∴∠CAF+∠ACF＝90°，∠ECB+∠ACF＝90°， ∴∠CAF＝∠ECB， 在△CAF和△BCE中，∠AFC＝∠BEC，∠CAF＝∠ECB，AC=BC， ∴△CAF≌△ECB， ∴CF＝BE， ∵EF＝CF， ∴EF＝BE， ∴△BEF是等腰直角三角形； （2）如图2，作BM⊥BC交CE的延长线于M， 则∠ACD＝∠CBM＝90°， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ABC＝∠CAB＝45°， ∴∠MBG＝∠DBG＝45°， 在△ACD和△CBM中，∠ACD＝∠CBM＝90°，AC=BC，∠CAD＝∠BCM ∴△ACD≌△CBM（ASA）， ∴∠ADC＝∠M，CD＝BM， ∵CD＝BD，∴BD＝BM， 在△DBG和△MBG中，BD＝BM，∠MBG＝∠DBG，BG=BG ∴△DBG≌△MBG（SAS）， ∴∠M＝∠BDG， ∵∠ADC＝∠M， ∴∠ADC＝∠BDG． |
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