初中数学分类讨论思想例题简析

wuzhsen 2017-05-28

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初中数学分类讨论思想例题简析（一）

剑门中学------何俊平

分类讨论思想是数学中重要的思想和一种解题方法，旨在考查我们思考问题的逻辑性、周密性和全面性，分类讨论问题也属于创新性问题，此类题综合性强，难题较大，在历年中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有很强的选拔性。初中数学分类讨论的知识点有三大类：一是代数类：如绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标不确定）所在象限等.二是几何类：各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.三是综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.

分类是按照数学对象的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复，也不遗漏．

分类的原则：①分类中的每一部分是相互独立的；②一次分类按一个标准；③分类讨论应逐级有序进行．④以性质、公式、定理的使用条件为标准分类.

下面列举初中数学几何中常见的几种分类讨论思想的问题，供同学们借鉴。

一、与线段有关的分类讨思想的应用——线段及端点位置的不确定性需讨论。例1、已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA︰CB= 3︰2 或3︰4 。解析：分点C在线段AB的延长线上

和线段BA的延长线上两种情况求解。

尝试1、已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.

二、与角有关的分类讨论思想的应用——角的一边不确定性需讨论。

例2、在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，则 ∠MON=20°或50° 。

解析：分射线OC在∠AOB的内部和外部两种情况求解。

尝试2、已知?AOB?60o,过O作一条射线OC，射线OE平分?AOC，射线OD平分?BOC，求?DOE的大小。

三、三角形中分类讨论思想的应用

常见的有以下四种类型：①因三角形的形状不确定而需分类讨论；②因等腰三角形的腰与底不确定而需分类讨论；③因直角三角形的斜边不确定而需分类讨论；④因相似三角形的对应角(或边)不确定而需分类讨论。