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本文拟以一道圆弧翻折型计算题及相关变式，再谈几何图形变换中极其重要的一种数学思想方法，笔者称之为“捆绑思想”（学自常州于新华特级大神），可类比代数里的整体思想去理解，以此浅谈图形变换中局部与整体之间的联系.  一 原题重现  二 解法初探 先呈上此题的两种解法，然后再分析其蕴含的数学思想方法，最后变式巩固. 解法一（相似法）： 第一步（圆心对称）：如图1-1所示，作出点O关于折痕EF的对称点O'，则点O'即为折叠后的圆弧A'F的圆心，这是解决此种题型最关键的要点； 第二步（见相切，连半径；得垂直，出平行）：因为圆弧A'F恰好与半径OB相切于点G，自然要连接O'G，则O'G⊥OB于点G，由题易知O'G∥AO； 第三步（见平行，得相似）：由O'G∥AO易知△O'OG∽△OEH；  解题后反思：对本题而言，首先同学们要有寻找翻折后圆弧的圆心的意识，这正是解决此种题型的关键之所在，找到了翻折后的圆心，也就牵住了“牛鼻子”！有趣的是，要找的圆心其实就是原来的圆心随同圆弧一同翻折过去的，仅此而已，这也是本文的主旨所在，即“捆绑思想”，后续细致的分析会反复提及，重点说明； 另外，初三学生还要有“相似情怀”，“勾股、相似及面积”法是计算边长的三大重要法宝，缺一不可，同学们要慢慢养成用相似的眼光看问题、找出路的习惯与策略. 解法二（勾股法）： 第一步（圆心对称）：如图1-2所示，作出点O关于折痕EF的对称点O'，则点O'即为折叠后的圆弧A'F的圆心，这是解决此种题型最关键的要点； 第二步（见相切，连半径；得垂直，出平行）：因为圆弧A'F恰好与半径OB相切于点G，自然要连接O'G，则O'G⊥OB于点G，由题易知O'G∥AO； 第三步（构造矩形）：由O'G∥AO且O'G=OA=6，连接O'A，容易证明四边形OAO'G为矩形，则△O'AE为直角三角形； 第四步（由对称，得相等，导角度，导边长）：由O、O'两点关于折痕EF对称，容易想到连接EO'，如图1-3所示，则EO'=EO=4；  解题后反思：解法二中巧妙发现了图形中蕴含的特殊性，即O'G∥AO且O'G=AO，从而联想到连接O'A后得到□OAO'G，结合直角易得□OAO'G还是个矩形，再利用翻折问题中的边不变性，联想到连接EO'，进而解出Rt△O'AE，搞定问题，属于比较常规的勾股法，同学们要加以揣摩，体会这种方法的重要性.  三 方法提炼（处理好局部与整体之间的关系） 通过上面两种解法可以看出，解题的关键首先要找到翻折之后的圆心，只有找到此圆心，题目中的相切条件才能得以应用，不然必然难以下手，而如何寻找圆心则成为了解决问题的金钥匙，根据学生的考情来看，确实有大部分学生没有寻找此圆心的意识，或者说不会寻找的方法，当然也有部分学生找到圆心了，但没想到相似或勾股法. 根据题目中提供的图1，表面看来是一段弧AF在沿着折痕EF进行翻折变换得到弧A'F，可称之为局部变换；但此时若是引进“整体思想”，可以想象成是，此弧AF所在的扇形AOB在沿着EF进行翻折变换，如图1-5所示；甚至于我们还可以想象成是弧AF所在的整个圆O在沿着EF进行翻折变换，如图1-6所示，可称之为“整体变换”！处理好这种局部与整体之间的关系，往往可以使看似复杂的问题变得极其简单，这就是我想表达的“思想决定高度”，站得高自然能望得远.  要想寻找翻折之后的圆弧A'F对应的圆心O'，当然也就可以将翻折之前的圆心O也作相应的变换，即圆心O关于折痕EF的对称点便是所要寻找的圆心O'！ 一个图形在运动（即变换），可以想象成整个图形上的每一个点都在作相同的运动（即变换），这是由整体到局部的思想，即为“局部处理”；反过来，一个点（或一些点）在运动（即变换），可以想象成这个点（或这些点）所在的整个图形在作相同的运动（即变换），这是由局部到整体的思想，即为“整体处理”，亦或称之为“捆绑思想”.这种整体与局部、局部与整体之间的迅速切换、转变，值得同学们用心反思，最近比较流行的所谓“瓜豆原理”也正是基于这种考虑问题的方式. 对本题而言，简而言之，一段弧在翻折，就是这段弧所在的整个圆在作相应地翻折，其圆心当然也是如此翻折而已！ 敬请各位朋友关注本人公众号，若能帮忙宣传，则不胜感激，旨在服务于更多的学子还有更多喜欢钻研的同仁们！ |
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