你知道初中数学中“点动产生的路径长问题”吗？这里给你总结好了

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近几年中考，和我们同学做的中考模拟试卷中，不断的出现了因动点计算路径长问题，这种题型因为隐藏的比较深，从而难以发现，计算比较繁琐。在填空题选择题中比较多。只要同学们在做题的过程中发现是这种题型，那么点所经过的路径一般就是就是两种结果。一是线段。二是圆弧。为什么呢？因为只有这两图形是可以计算路径长的。其它图形我们目前能计算路径长吗。哈哈，这样解释印象有没有很深。

下面我们来看看我们会碰到的几种题型。

题型1：简单的图形翻转问题。

解法：这种题型比较简单。只要找出旋转圆心，旋转时圆的半径，还有圆心角就可以了，然后利用扇形的弧长计算公式来计算。注意，如果是圆弧旋转的话，圆心的路径是直线。

例题1：一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为___________

例1图

试题分析：现将木板沿水平线翻滚， B 点从开始至结束走过了4条弧，每条弧是一等边三角形的边为半径的扇形，圆心角为等边三角形的内角，所以 B 点从开始至结束所走过的路程长度=4l=

点评：本题考查扇形的弧长公式，关键是找出扇形的圆心角和半径，考查学生的空间想象能力

例题2：矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置A₁B₁C₁D₁时（如图所示），则顶点A所经过的路线长是

例2图

例题3：将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A’O’B’处，则顶点O经过的路线长为 。

例3图

例题4：如图，一个圆心角为270°，半径为2m的扇形工件，未搬动前如图所示，A，B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A，B两点再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长是 m．（结果保留π）

例4图

例题5：已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是 m。（结果用π表示)

例5图

题型2：线段型

解法：也就是路径长是线段，我们会碰到两种情况，一种是动点始终到某直线的距离是个定值。还有一种则需要通过建立直角坐标系来解决，或者动点与起始时连线始终和某个直线的夹角是个定值。第二种难度明显会比第一种要大。

第一种例题

例题6：如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是　_________　．

例6图

例题7：等边三角形ABC中，BC=6，D、E是边BC上两点，且BD=CE=1，点P是线段DE上的一个动点，过点P分别作AC、AB的平行线交AB、AC于点M、N，连接MN、AP交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段BG扫过的区域面积为 ．

例7图

第二种例题

例题8：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=30，动点P从点B开始沿边BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CA向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接PQ，点P、Q分别从点B、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．

（1）当t= 秒时，点P、C、Q所构成的三角形与Rt△ABC相似．

（2）在整个运动过程中，线段PQ的中点所经过的路程长为 ．

例8图

例题9：如图，已知点A是第一象限内横坐标为2√3的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是______

例9图

例题10：如图，边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．在点P的运动过程中，线段BP的中点为点E，将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°得PC．

（1）当点P运动到线段OA的中点时，点C的坐标为　_________　；

（2）在点P从点O到点A的运动过程中，用含t的代数式表示点C的坐标；

（3）在点P从点O到点A的运动过程中，求出点C所经过的路径长．

例10图

例题11：如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．

（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长．

例11图

题型3：圆弧运动

解法：要解决圆弧运动的题型，我们就要知道动点始终到某点的距离是个定值，那么这个点就在圆弧上运动，第一种比较容易看出，就是在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，直角顶点是固定的，斜边的长度是固定的。第二种就是，动点和某两个定点所组成的夹角是固定的，可以看做是等弧所对的圆周角是相等的。这也是比较难以发现的。

第一种例题

例题12：如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒AB的中点P运动的路径长为　_________　米．

例12图

例题13：如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径长是　_________　．

例13图

例题14：如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为____

例14图

例题15：如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A时，则点M运动路径的长为　_________　．

例15图

第二种例题

例题16：如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的

上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在

上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为　_________　．

例16图

题型4：因动点求线段最小值

解法：其实这种题型基本上和动点产生的路径长成圆弧问题一样。不信请看！

例题17：图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是

例17图

例题18：如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是________

例18图

例题19：在平面直角坐标系中，点A、B都是x轴上的点，其中点A的坐标为（1,0）点B的坐标为（5,0），在y轴上是否存在点C，使得∠ACB=30°，若存在，请求出点C的坐标，若不存在，请说明理由。