微分几何（Differential geometry）名词解释：Riemannian manifold

数学人Mathmann》译者：方建勇/浙江大学数学系98级毕业生

黎曼流形

在差分几何中，（平滑）黎曼流形或（平滑）黎曼空间（M，g）是在切线空间T上配备有内积gp {\ displaystyle g_ {p}} g_ {p}的真正平滑歧管M在每个点p {\ displaystyle p} p处的p M {\ displaystyle T_ {p} M} T_ {p} M，从某种意义上说，如果X和Y是M上的向量场，则p? gp（X（p），Y（p））{\ displaystyle p \ mapsto g_ {p}（X（p），Y（p））} p \ mapsto g_ {p}（X（p） ））是一个平滑的功能。内部产品的家族称为黎曼度量（张量）。这些术语以德国数学家Bernhard Riemann命名。黎曼流形的研究构成了黎曼几何的主题。

黎曼度量（张量）使得可以在黎曼流形上定义各种几何概念，例如角度，曲线长度，面积（或体积），曲率，函数梯度和矢量场的发散度。

介绍
1828年，卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）证明了他的“定理”（拉丁文定律），建立了表面的重要性质。非正式地，定理说，可以通过测量表面上的路径的距离来完全确定表面的曲率。也就是说，曲率不依赖于表面如何嵌入在三维空间中。请参见曲面的微分几何。 Bernhard Riemann将高斯理论扩展到称为歧管的更高维度空间，其方式也允许测量距离和角度，并且可以以多边形内在的方式再次定义曲率的概念，而不依赖于其嵌入更高维的空间。爱因斯坦爱因斯坦利用黎曼多元论的理论来发展他的普遍的相对论。特别地，他的引力方程是空间曲率的约束。