令人着迷的梅森素数

2016年1月7日，美国数学家库珀发现第49个梅森素数274207281－1，即2的74207281次方减1。这个超大素数有22338618位，是目前已知的最大素数。如果用普通字号将它连续打印下来，它的长度可超过65千米！

梅森素数是一种特殊的素数，它是数论研究的一项重要内容，也是当今科学研究的热点与难点之一。所谓梅森数，是指形如2p－1的一类数，其中指数p是素数，常记为Mp。如果梅森数是素数，就称为梅森素数。用因式分解法可以证明，若2n－1是素数，则指数n也是素数；反之，当n是素数时，2n－1却未必是素数。前几个较小的梅森数大都是素数，然而梅森数越大，梅森素数也就越难出现。

是否存在无穷多个梅森素数是数论中未解决的著名难题之一，300多年来，人类仅发现49个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”。

梅森素数的神秘诞生

1588年9月8日，数学家梅森出生在法国奥泽的一个工人家庭，16岁时进入耶稣会办的学校学习，1609年从巴黎的索邦神学院毕业后任神职人员，1619年到拉农西亚德女修道院教授神学和哲学。

梅森有很高的科学素养，其研究涉及声学、光学、力学、航海学和数学等多个学科，并有“声学之父”的美誉。他是17世纪欧洲科学界一位独特的、极具魅力的人物，他学识广博、才华横溢，是当时法国许多科学家的密友。当时，大多数科学家喜欢以相互通信的方式交流科学思想，许多数学家都乐于将研究成果寄给梅森，然后凭借他热情诚挚的性格和丰富的社交圈，研究成果会在科学界广泛传播开来。梅森起到了科学交流的桥梁作用，被誉为“有定期数学杂志之前的数学的交换站”。由于梅森学识渊博、才华横溢、为人热情以及最早系统而深入地研究2p－1型的数，为了纪念他，1897年在瑞士苏黎世举行的首届国际数学家大会（ICM）就将2p－1型的数称为梅森数，并以Mp记之（其中M为梅森姓氏的首字母）；如果Mp为素数，则称之为梅森素数。

在梅森研究2p－1型的素数之前，法国数学家费马曾与他进行过相关交流。1640年6月，费马在给梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质。我自信它们将成为今后解决素数问题的基础。”这封信讨论了形式为2n－1的素数。2n－1最早出现在欧几里得《几何原本》（公元前300年左右）第九章命题6中。梅森以此作为基础，花4年时间研究、检验了直至2257－1的全部数，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中写道：“总结前人的工作和我个人的研究，可以得到结论：在n小于或等于257的数中，仅当n=2、3、5、7、13、17、19时，2n-1是素数，并猜想n=31、67、127和257时，2n-1是素数；对于n